1Euclides etiam de non coniunctis demon
ſtrat. Pro hac igitur demonſtranda, diuida
tur angulus quem illæ continent indefinita
linea, poſtmodum facto centro extremo lineæ
breuioris deſcribam circulum, qui in termi
num minoris cadet, maiorem autem ſecabit ad
minoris æqualitatem. Tranſpoſitis enim tri
gonis, quorum vertices ſunt in puncto con
iunctionis propoſitarum linearum, fines
autem ſectiones circulorum cum lineis, ita
quòd media diuidens baſis ſit communis
vtriuſque ſecundum modum conceſſum ab
Euclide in ſua quarta primi elementorum,
ni datæ lineæ æquales fuerint, erit pars to
ti æqualis, quod eſſe non poteſt. Si verò di
cas circulum è minoris termino centrum
habentem ad mediam non peruenire, to
ties per quartam anguli illi bifariàm ſecen
tur, donec attingant: inde repetita demon
ſtratione propoſitum habebitur, vt prius.
ſtrat. Pro hac igitur demonſtranda, diuida
tur angulus quem illæ continent indefinita
linea, poſtmodum facto centro extremo lineæ
breuioris deſcribam circulum, qui in termi
num minoris cadet, maiorem autem ſecabit ad
minoris æqualitatem. Tranſpoſitis enim tri
gonis, quorum vertices ſunt in puncto con
iunctionis propoſitarum linearum, fines
autem ſectiones circulorum cum lineis, ita
quòd media diuidens baſis ſit communis
vtriuſque ſecundum modum conceſſum ab
Euclide in ſua quarta primi elementorum,
ni datæ lineæ æquales fuerint, erit pars to
ti æqualis, quod eſſe non poteſt. Si verò di
cas circulum è minoris termino centrum
habentem ad mediam non peruenire, to
ties per quartam anguli illi bifariàm ſecen
tur, donec attingant: inde repetita demon
ſtratione propoſitum habebitur, vt prius.
Quoniam verò trigonos tranſponimus,
id non ad conſtruendum quicquam licet. Par
enim fermè eſſet circuli æquilatationi, ſed
ſolùm in theorematibus, ad id quod ita ſit
demonſtrandum.
id non ad conſtruendum quicquam licet. Par
enim fermè eſſet circuli æquilatationi, ſed
ſolùm in theorematibus, ad id quod ita ſit
demonſtrandum.
Vndecima erit, ſuper datam lineam
triangulum duum æqualium laterum deſcri
bere: diuidemus eam bifariàm, erigemus
perpendicularem è ſectionis puncto per ſex
tam, completóque trigono per primam pa
tet propoſitum.
triangulum duum æqualium laterum deſcri
bere: diuidemus eam bifariàm, erigemus
perpendicularem è ſectionis puncto per ſex
tam, completóque trigono per primam pa
tet propoſitum.
Ex hac & præcedente, abſque circulis,
per modum Euclidis, illius ſecundam de
monſtrabimus, quæ erit duodecima noſtra.
At ex hac per modum Euclidis, tertia illius
demonſtrabitur generaliter, quæ erit
decimatertia harum.
Decimaſexta Euclidis,
& quinque ſequentes, vt
ab Euclide ponuntur,
demonſtrabuntur: habe
búntque locum apud nos
decimæquartæ, & quin
que ſequentium: quan
doquidem nullis aliis
quàm demonſtratis iam
à nobis hucúſqne indi
gent. Simili ratione vi
geſimaſexta, & quatuor
ſequentes, vigeſimæ no
ſtræ, & quatuor proxi
mè ſequentium locum
obtinebunt. Vigeſima
quinta noſtra erit apud
Euclidem vigeſimater
tia, quæ ſic demonſtra
pars primæ 12.
2 13
3 14
10 15
17 16
18 17
19 18
20 19
21 20
26 21
27 22
28 23
29 24
30 25
23 26
6 27
24 28
bitur: lineas continentes angulum æquales
inuicem ad datam circini latitudinem fa
cies. Inde ſubtenſa recta, minor erit per
decimamoctauam ambobus lateribus trigo
ni datum angulum continentibus. Huic ba
ſi igitur per decimamtertiam hoc expuncto
dato in linea æqualem abſcindemus: inde
rurſus factis vtrinque terminis, lineæ iam
abſciſæ centris deſcribemus circulos, qui
ſe ſecabunt ex decimaoctaua, vt dixi: du
ctis ergo linei ex communi circulorum ſe
ctione ad extrema lineæ ſubiectæ, iam pa
làm erit ex tertia angulum in dato puncto,
propoſito eſſe coæqualem. Sextam inde loco
demonſtrabimus facillimè ex decimatertia,
demonſtratione, quæ contradicentem dedu
cat ad impoſſibile: ſed placet vera demon
ſtratione oſtendere: alium igitur trigonum
ex præcedenti fabricabo baſim habentem ba
ſi æqualem, & angulos qui ſunt ſupra baſim
angulis ſupra baſim propoſiti trigoni æqua
les. Inde ſuperponendo baſim baſi ex prima
harum conceſſa ab Euclide, fiet per communes
animi ſententias bis, ſuperponendo verſa vi
ce, vt latera demonſtrentur æqualia. Quo
peracto vigeſimaoctaua ex præcedente de
monſtretur. Huic ſuccedunt vigeſimaquar
ta, & trigeſimaprima Euclidis: prima autem
eiuſdem, trigeſimoſecundo loco ſic demon
ſtrabitur, facto trigono æquilatero iuxta cir
cini latitudinem eodem modo quo facit Eu
clides, in terminis verò datæ lineæ duobus
angulis æqualibus illis trigoni ex vigeſima
quinta harum, quare ex trigeſimaprima erit
tertius tertio, ac prioris trianguli ex ſecunda
harum anguli ſunt æquales, igitur & ſecundi
trigoni: igitur ex vigeſimaſexta erit trigonus
ſecundus ſuper datam lineam conſtitutus æqui
laterus. Trigeſimatertia erit duodecima pri
mi Elemen. ex dato puncto per trigeſimam
harum datæ lineæ duco æquidiſtantem, inde
per ſextam ſuper deductam ex eodem puncto
duco perpendicularem, donec ex eadem par
te occurrat datæ lineæ, cui cùm occurrerit
perpendicularis inſiſtet ex vigeſimatertia,
cùm prior iam ſit rectus. Poſt hæc quando
quidem nil aliud ſupponitur præter demon
ſtrata, liberum erit vſque ad vltimam primi,
relicta ſola vigeſimaſecunda, procedere.
per modum Euclidis, illius ſecundam de
monſtrabimus, quæ erit duodecima noſtra.
At ex hac per modum Euclidis, tertia illius
demonſtrabitur generaliter, quæ erit
decimatertia harum.
Decimaſexta Euclidis,
& quinque ſequentes, vt
ab Euclide ponuntur,
demonſtrabuntur: habe
búntque locum apud nos
decimæquartæ, & quin
que ſequentium: quan
doquidem nullis aliis
quàm demonſtratis iam
à nobis hucúſqne indi
gent. Simili ratione vi
geſimaſexta, & quatuor
ſequentes, vigeſimæ no
ſtræ, & quatuor proxi
mè ſequentium locum
obtinebunt. Vigeſima
quinta noſtra erit apud
Euclidem vigeſimater
tia, quæ ſic demonſtra
pars primæ 12.
2 13
3 14
10 15
17 16
18 17
19 18
20 19
21 20
26 21
27 22
28 23
29 24
30 25
23 26
6 27
24 28
bitur: lineas continentes angulum æquales
inuicem ad datam circini latitudinem fa
cies. Inde ſubtenſa recta, minor erit per
decimamoctauam ambobus lateribus trigo
ni datum angulum continentibus. Huic ba
ſi igitur per decimamtertiam hoc expuncto
dato in linea æqualem abſcindemus: inde
rurſus factis vtrinque terminis, lineæ iam
abſciſæ centris deſcribemus circulos, qui
ſe ſecabunt ex decimaoctaua, vt dixi: du
ctis ergo linei ex communi circulorum ſe
ctione ad extrema lineæ ſubiectæ, iam pa
làm erit ex tertia angulum in dato puncto,
propoſito eſſe coæqualem. Sextam inde loco
demonſtrabimus facillimè ex decimatertia,
demonſtratione, quæ contradicentem dedu
cat ad impoſſibile: ſed placet vera demon
ſtratione oſtendere: alium igitur trigonum
ex præcedenti fabricabo baſim habentem ba
ſi æqualem, & angulos qui ſunt ſupra baſim
angulis ſupra baſim propoſiti trigoni æqua
les. Inde ſuperponendo baſim baſi ex prima
harum conceſſa ab Euclide, fiet per communes
animi ſententias bis, ſuperponendo verſa vi
ce, vt latera demonſtrentur æqualia. Quo
peracto vigeſimaoctaua ex præcedente de
monſtretur. Huic ſuccedunt vigeſimaquar
ta, & trigeſimaprima Euclidis: prima autem
eiuſdem, trigeſimoſecundo loco ſic demon
ſtrabitur, facto trigono æquilatero iuxta cir
cini latitudinem eodem modo quo facit Eu
clides, in terminis verò datæ lineæ duobus
angulis æqualibus illis trigoni ex vigeſima
quinta harum, quare ex trigeſimaprima erit
tertius tertio, ac prioris trianguli ex ſecunda
harum anguli ſunt æquales, igitur & ſecundi
trigoni: igitur ex vigeſimaſexta erit trigonus
ſecundus ſuper datam lineam conſtitutus æqui
laterus. Trigeſimatertia erit duodecima pri
mi Elemen. ex dato puncto per trigeſimam
harum datæ lineæ duco æquidiſtantem, inde
per ſextam ſuper deductam ex eodem puncto
duco perpendicularem, donec ex eadem par
te occurrat datæ lineæ, cui cùm occurrerit
perpendicularis inſiſtet ex vigeſimatertia,
cùm prior iam ſit rectus. Poſt hæc quando
quidem nil aliud ſupponitur præter demon
ſtrata, liberum erit vſque ad vltimam primi,
relicta ſola vigeſimaſecunda, procedere.
Euclid.
No
ſtræ.
ſtræ.
6 26
Demonſtra
tio ſextæ pri
mi elemento
rum per ar
gumenti con
cluſionem,
ſeu ducens
ad neceſſa
rium.
7 37
24 28
25 29
31 30
32 31
Prima 32
12 33
Reſiduum
primi lib.
propter 23.
Totus ſecun
dus lib. præ
ter vltimam.
Tertij libri
primæ ſexde
cim propoſi
tiones.
31 34
Eadémque ratione totum ſecundum librum,
vltima dumtaxat propoſitione excepta. Primas
quoque ſexdecim tertij libri, & partem primam
trigeſimę primæ proportionis eiuſdem, quam
trigeſimamquartam huius dicemus: nam du
cta linea ex centro, per ſecundam harum,
conſtat angulum ſupremum æqualem eſſe
duobus, qui ſunt ſupra baſim pariter acce
ptis: cùm verò tres ipſi æquales ſint duobus
rectis ex trigeſimaprima, neceſſe erit fateri
ſupremum, qui in circuli dimidio conſiſtit
eſſe rectum. Imò eodem modo quo ibi de
monſtrantur, reliquæ huius propoſitionis
partes patêre poſſunt. Totus etiam quintus
liber, cùm ex aliis non pendeat, demonſtra
bitur liberè ea ratione quæ ab Euclide: tum
verò & duodecim primi ſexti Elementorum
propoſitiones, cùm demonſtratis iam tantùm
indigeant. Iam verò decimamtertiam ſexti
demonſtrare pro trigeſimaquinta oportet:
iunctis igitur ligneis ad punctum ſecundum
rectitudinem per decimamtertiam, quæ ſint
AC, & CB, ducam per ſextam AF, quàm per
decimamtertiam faciam duplam circini la
titudini, ductáque BF, ducam per trigeſimam
CB, æquidiſtantem BF, & faciam CG, æqua
lem EF, & CK, æqualem EA, per decimam
tertiam. Cùm igitur ſit proportio ex quarta
ſexti Element. AF, ad B, vt AE, ad AC, erit
ex decimanona quinti Element. AF, ad AC,
vt EF, ad CE, quare KC, ad AC, vt CG, ad
CB, per ſeptimum eiuſdem quinti elemen-
vltima dumtaxat propoſitione excepta. Primas
quoque ſexdecim tertij libri, & partem primam
trigeſimę primæ proportionis eiuſdem, quam
trigeſimamquartam huius dicemus: nam du
cta linea ex centro, per ſecundam harum,
conſtat angulum ſupremum æqualem eſſe
duobus, qui ſunt ſupra baſim pariter acce
ptis: cùm verò tres ipſi æquales ſint duobus
rectis ex trigeſimaprima, neceſſe erit fateri
ſupremum, qui in circuli dimidio conſiſtit
eſſe rectum. Imò eodem modo quo ibi de
monſtrantur, reliquæ huius propoſitionis
partes patêre poſſunt. Totus etiam quintus
liber, cùm ex aliis non pendeat, demonſtra
bitur liberè ea ratione quæ ab Euclide: tum
verò & duodecim primi ſexti Elementorum
propoſitiones, cùm demonſtratis iam tantùm
indigeant. Iam verò decimamtertiam ſexti
demonſtrare pro trigeſimaquinta oportet:
iunctis igitur ligneis ad punctum ſecundum
rectitudinem per decimamtertiam, quæ ſint
AC, & CB, ducam per ſextam AF, quàm per
decimamtertiam faciam duplam circini la
titudini, ductáque BF, ducam per trigeſimam
CB, æquidiſtantem BF, & faciam CG, æqua
lem EF, & CK, æqualem EA, per decimam
tertiam. Cùm igitur ſit proportio ex quarta
ſexti Element. AF, ad B, vt AE, ad AC, erit
ex decimanona quinti Element. AF, ad AC,
vt EF, ad CE, quare KC, ad AC, vt CG, ad
CB, per ſeptimum eiuſdem quinti elemen-