1torum: ideóque ex decimaquarta eiuſdem,
ſi KC eſt maior AC, vel æqualis, vel minor,
ita CG maior, æqualis, aut minor CB. Cùm
igitur KC æqualis ſit AF, diuiſa per medium
91[Figure 91]
in H, per quintam deſcribetur ſemicircu
lus ſecundum propoſitam magnitudinem,
quia AF fuit dupla illi latitudini per ſextam:
erigo igitur CM perpendicularem, & ducta
GL ex ſectione circuli, & perpendicularis,
ducemus BM illi æquidiſtantem per trigeſi
mam mediam: conſtat igitur CM, eſſe pro
portione mediam inter AC & CB: nam (vt
demonſtratum eſt) vt KC ad CA, ita CG ad
CB, quare, vt KC ad CG, ita AC ad CB: at
ex quarta ſexti, vt CG ad CB, ita LC ad
CM: LC, autem ex octaua ſexti Elemento
rum & trigeſimaquarta harum eſt in media
proportione K C & CG, igitur & CM, in
media proportione AC & CB. Ex hac ha
betur vltima ſecundi Element. quæ eſt tri
geſimaſexta.
ſi KC eſt maior AC, vel æqualis, vel minor,
ita CG maior, æqualis, aut minor CB. Cùm
igitur KC æqualis ſit AF, diuiſa per medium
91[Figure 91]in H, per quintam deſcribetur ſemicircu
lus ſecundum propoſitam magnitudinem,
quia AF fuit dupla illi latitudini per ſextam:
erigo igitur CM perpendicularem, & ducta
GL ex ſectione circuli, & perpendicularis,
ducemus BM illi æquidiſtantem per trigeſi
mam mediam: conſtat igitur CM, eſſe pro
portione mediam inter AC & CB: nam (vt
demonſtratum eſt) vt KC ad CA, ita CG ad
CB, quare, vt KC ad CG, ita AC ad CB: at
ex quarta ſexti, vt CG ad CB, ita LC ad
CM: LC, autem ex octaua ſexti Elemento
rum & trigeſimaquarta harum eſt in media
proportione K C & CG, igitur & CM, in
media proportione AC & CB. Ex hac ha
betur vltima ſecundi Element. quæ eſt tri
geſimaſexta.
13 35
Vltima ſe
cundi Elemen
torum 36.
Reliquum
ſexti Ele
mentorum
præter vlti
mam.
Tertij Eucl.
noſtræ,
17 37
Eadem ratione perficiemus Euclidis de
monſtrationibus omnes ſexti Elementorum
propoſitiones, vltima duntaxat excepta. Inde
decimamſeptimam tertij Elementorum ag
grediemur. Hæc erit trigeſimaſeptima. Du
cta igitur ex puncto præter circulum per
centrum recta, ſumam mediam per trigeſi
mamquintam inter totam, quæ ex puncto
vſque ad circumferentiam interiorem, & il
lam quæ ei exterius adiacet, inde ſuper ter
minum inuentæ erecta perpendiculari ſe
cundum quantitatem ſemidiametri circuli,
ad quem ex puncto propoſito contingens
ducenda eſt, concludo triangulum. Ergo
huic angulo contenta ex vltimo ducta &
perpendiculari, ſeu oppoſito conſimili ex
25. facio angulum in centro æqualem verſus
punctum propoſitum, ex quo ducta recta ad
extremum lineæ quæ angulum facit, vbi ſci
licet circulum tangit, contingens erit: nam
ex ſexta ſecundi Element. & 47. primi eiuſ
dem, linea ex puncto ad centrum æqualis
erit lineæ vltimò ductæ, quæ recto opponi
tur: ex prima igitur harum, angulus ille in
baſi iuxta circumferentiam rectus, & ex 16.
tertij Element. producta contingens. Reli
quæ omnes tertij libri, præter 24. & 33. de
monſtrantur, ex iam demonſtratis. In 24.
demonſtrabimus locum centri, vt Euclides:
perficere circulum non eſt poſſibile, cum re
pugnet iam promiſſis, illa tamen vtemur, quia
non eſt opus, niſi in circumſcribendis, aut in
ſcribendis circulis niſi centri inuentione, vt
demonſtrabimus. In 33. etiam tertij abſol
uemus quotquot voluerimus angulos ſupra
datam lineam: quia omnes, ſi circulus ſupra
illam deſcriberetur, in circumferentia illius
eſſent. Id prius auxilio trigeſimæquartæ ter
tij, quæ abſque 33. demonſtratur in propo
ſito tuo circulo, abſoluemus, inde per 25. ſu
pra conſtitutam lineam: ergo erunt hæ no
bis loco trigeſimęoctauæ, & trigeſimęnonæ,
ſicut vltima ſexti Elementorum pro 40. Pòſt
demonſtrabimus primam quarti Elemento
rum, hæc erit nobis quadrageſimaprima: per
duodecimam ſexti Elementorum conſtitu
tam, vt ſit latitudinis circini propoſiti ad A,
lineam, vt ſemidiametri circuli, in quo eſt
linea inſcribenda ad lineam inſcribendam,
inde collocata A in circulo mihi permiſſo,
expleo trigonum duûm æqualium laterum,
& angulo in centro circuli permiſſi, quem
ſubtendit linea A æqualem, ex vigeſima
quinta facio in propoſiti circuli centro.
Conſtabit itaque ex trigeſimaprima harum
trigonos eſſe ſimiles, ſubducta ſemidiame
tris recta, quare ſemidiametri conceſſi ad A,
vt ſemidiametri propoſiti ad ſubductam ex
quartaſexti Elementorum, talis verò fuit
ſemidiametri propoſiti circuli ad lineam
propoſitam, igitur ſubducta eſt æqualis pro
poſitæ.
monſtrationibus omnes ſexti Elementorum
propoſitiones, vltima duntaxat excepta. Inde
decimamſeptimam tertij Elementorum ag
grediemur. Hæc erit trigeſimaſeptima. Du
cta igitur ex puncto præter circulum per
centrum recta, ſumam mediam per trigeſi
mamquintam inter totam, quæ ex puncto
vſque ad circumferentiam interiorem, & il
lam quæ ei exterius adiacet, inde ſuper ter
minum inuentæ erecta perpendiculari ſe
cundum quantitatem ſemidiametri circuli,
ad quem ex puncto propoſito contingens
ducenda eſt, concludo triangulum. Ergo
huic angulo contenta ex vltimo ducta &
perpendiculari, ſeu oppoſito conſimili ex
25. facio angulum in centro æqualem verſus
punctum propoſitum, ex quo ducta recta ad
extremum lineæ quæ angulum facit, vbi ſci
licet circulum tangit, contingens erit: nam
ex ſexta ſecundi Element. & 47. primi eiuſ
dem, linea ex puncto ad centrum æqualis
erit lineæ vltimò ductæ, quæ recto opponi
tur: ex prima igitur harum, angulus ille in
baſi iuxta circumferentiam rectus, & ex 16.
tertij Element. producta contingens. Reli
quæ omnes tertij libri, præter 24. & 33. de
monſtrantur, ex iam demonſtratis. In 24.
demonſtrabimus locum centri, vt Euclides:
perficere circulum non eſt poſſibile, cum re
pugnet iam promiſſis, illa tamen vtemur, quia
non eſt opus, niſi in circumſcribendis, aut in
ſcribendis circulis niſi centri inuentione, vt
demonſtrabimus. In 33. etiam tertij abſol
uemus quotquot voluerimus angulos ſupra
datam lineam: quia omnes, ſi circulus ſupra
illam deſcriberetur, in circumferentia illius
eſſent. Id prius auxilio trigeſimæquartæ ter
tij, quæ abſque 33. demonſtratur in propo
ſito tuo circulo, abſoluemus, inde per 25. ſu
pra conſtitutam lineam: ergo erunt hæ no
bis loco trigeſimęoctauæ, & trigeſimęnonæ,
ſicut vltima ſexti Elementorum pro 40. Pòſt
demonſtrabimus primam quarti Elemento
rum, hæc erit nobis quadrageſimaprima: per
duodecimam ſexti Elementorum conſtitu
tam, vt ſit latitudinis circini propoſiti ad A,
lineam, vt ſemidiametri circuli, in quo eſt
linea inſcribenda ad lineam inſcribendam,
inde collocata A in circulo mihi permiſſo,
expleo trigonum duûm æqualium laterum,
& angulo in centro circuli permiſſi, quem
ſubtendit linea A æqualem, ex vigeſima
quinta facio in propoſiti circuli centro.
Conſtabit itaque ex trigeſimaprima harum
trigonos eſſe ſimiles, ſubducta ſemidiame
tris recta, quare ſemidiametri conceſſi ad A,
vt ſemidiametri propoſiti ad ſubductam ex
quartaſexti Elementorum, talis verò fuit
ſemidiametri propoſiti circuli ad lineam
propoſitam, igitur ſubducta eſt æqualis pro
poſitæ.
33 39
Poſt hæc demonſtranda eſt 22. primi Ele
mentorum: quamuis ad Euclidis finem non
ſit neceſſaria, ſed propter 22. ab eodem ad
iecta fuerit ſolum, quæ iam ſuperius eſt de
monſtrata. Sint igitur propoſitæ tres lineæ
ABC, ſub conditione ibidem adiecta, & aſ
ſumo circulum mihi conceſſum, cuius dime
tiens DH, & medium eius DE, & ſit A ma
ior B, & B maior C, & ex 12. ſexti Elemen
torum iam demonſtrata, fiat DE ad EF, vt
A ad B, & EF ad FG, vt B ad C: & quia B
& C, ſupponuntur longiores A, erit tota EG
longior E D, igitur G punctus cadet extra
circulum: fiat ex eadem 12. ſexti Elemento
rum, vt GF ad FH, ita DF ad K, cui K adii
ciatur L, æqualis GF: igitur vt DF ad K, ita
L ad F H. Quia verò H F eſt minima 4.
quantitatum proportionis vnius, erit D F
92[Figure 92]
maxima, totáque DH maior tota KL, ex 25.
quinti Elementorum: igitur per 41. præce
dentem collocabimus KL, quomodolibet in
circulo, vt ſit M O, & ex 13. faciam M N
æqualem L, erítque NO æqualis K: & du
cam ex centro ENP producendo ex aduerſo
in Q, & iterum ex eodem centro EM. Ex 16.
ſexti Element. productum KL, id eſt MN,
in NO, æquale eſt producto DF in FH, quia
K & L fuerunt proportione mediæ inter
DF & FH: & ex 35. tertij Element. produ
ctum P N in NQ, æquale eſt producto MN
in NO, igitur ex PN in NQ, fit quantam ex
DF in FH: igitur cum PQ, ſit æqualis DH,
erit NP, æqualis FH, & EN æqualis EF:EM
autem eſt æqualis E D, & FG æqualis L, &
L æqualis MN, igitur F G æqualis M N,
igitur trigonus E M N, conſtat ex tribus
mentorum: quamuis ad Euclidis finem non
ſit neceſſaria, ſed propter 22. ab eodem ad
iecta fuerit ſolum, quæ iam ſuperius eſt de
monſtrata. Sint igitur propoſitæ tres lineæ
ABC, ſub conditione ibidem adiecta, & aſ
ſumo circulum mihi conceſſum, cuius dime
tiens DH, & medium eius DE, & ſit A ma
ior B, & B maior C, & ex 12. ſexti Elemen
torum iam demonſtrata, fiat DE ad EF, vt
A ad B, & EF ad FG, vt B ad C: & quia B
& C, ſupponuntur longiores A, erit tota EG
longior E D, igitur G punctus cadet extra
circulum: fiat ex eadem 12. ſexti Elemento
rum, vt GF ad FH, ita DF ad K, cui K adii
ciatur L, æqualis GF: igitur vt DF ad K, ita
L ad F H. Quia verò H F eſt minima 4.
quantitatum proportionis vnius, erit D F
92[Figure 92]maxima, totáque DH maior tota KL, ex 25.
quinti Elementorum: igitur per 41. præce
dentem collocabimus KL, quomodolibet in
circulo, vt ſit M O, & ex 13. faciam M N
æqualem L, erítque NO æqualis K: & du
cam ex centro ENP producendo ex aduerſo
in Q, & iterum ex eodem centro EM. Ex 16.
ſexti Element. productum KL, id eſt MN,
in NO, æquale eſt producto DF in FH, quia
K & L fuerunt proportione mediæ inter
DF & FH: & ex 35. tertij Element. produ
ctum P N in NQ, æquale eſt producto MN
in NO, igitur ex PN in NQ, fit quantam ex
DF in FH: igitur cum PQ, ſit æqualis DH,
erit NP, æqualis FH, & EN æqualis EF:EM
autem eſt æqualis E D, & FG æqualis L, &
L æqualis MN, igitur F G æqualis M N,
igitur trigonus E M N, conſtat ex tribus