238200NOUVEAU COURS
PROPOSITION XI.
Théoreme.
Théoreme.
401.
Deux triangles A B C, D E F ſont ſemblables, lorſqu’ils
ont un angle égal compris entre côtés proportionnels.
ont un angle égal compris entre côtés proportionnels.
Demonstration.
Suppoſons que l’angle E du triangle D E F eſt égal à l’angle
B du triangle A B C, & que l’on a A B : B C : : D E : E F, il
faut démontrer que les angles en A & en C ſeront égaux aux
angles en D & en F, & que l’on aura A B : A C : : D E : D F.
Soit pris ſur le côté A B la ligne B G égale à D E, & la ligne
B K égale à E F, à cauſe de l’angle en B, ſuppoſé égal à l’angle
en E, le triangle B G K ſera parfaitement égal au triangle
E D F (art. 381): donc G K eſt égal à D F, & l’angle D
eſt égal à l’angle G, de même que l’angle K à l’angle F. De
plus les côtés B A, B C ſont coupés proportionnellement par
la ligne G K : donc la ligne G K eſt parallele à la baſe A C,
& le triangle B G K eſt ſemblable au triangle B A C : donc on
aura A B : B G : : A C : G K, ou A B : D E : : A C : D F, ou
alternando A B : A C : : D E : D F. D’où il ſuit que les angles
du triangle D E F ſont égaux aux angles du triangle A B C;
d’ailleurs les côtés oppoſés à ces angles ſont proportionnels à
ceux qui ſont oppoſés aux mêmes angles dans le triangle A B C:
doncle triangle D E F eſt ſemblable au triangle A B C. C. Q. F. D.
B du triangle A B C, & que l’on a A B : B C : : D E : E F, il
faut démontrer que les angles en A & en C ſeront égaux aux
angles en D & en F, & que l’on aura A B : A C : : D E : D F.
Soit pris ſur le côté A B la ligne B G égale à D E, & la ligne
B K égale à E F, à cauſe de l’angle en B, ſuppoſé égal à l’angle
en E, le triangle B G K ſera parfaitement égal au triangle
E D F (art. 381): donc G K eſt égal à D F, & l’angle D
eſt égal à l’angle G, de même que l’angle K à l’angle F. De
plus les côtés B A, B C ſont coupés proportionnellement par
la ligne G K : donc la ligne G K eſt parallele à la baſe A C,
& le triangle B G K eſt ſemblable au triangle B A C : donc on
aura A B : B G : : A C : G K, ou A B : D E : : A C : D F, ou
alternando A B : A C : : D E : D F. D’où il ſuit que les angles
du triangle D E F ſont égaux aux angles du triangle A B C;
d’ailleurs les côtés oppoſés à ces angles ſont proportionnels à
ceux qui ſont oppoſés aux mêmes angles dans le triangle A B C:
doncle triangle D E F eſt ſemblable au triangle A B C. C. Q. F. D.
PROPOSITION XII.
Theoreme.
Theoreme.
402.
Deux triangles A B C, D E F ſont ſemblables, lorſque
deux angles de l’un ſont égaux aux deux angles de l’autre.
deux angles de l’un ſont égaux aux deux angles de l’autre.
Demonstration.
Suppoſons que l’angle A eſt égal à l’angle D, &
que l’angle
11Figure 44
& 45. C eſt égal à l’angle F. Sur le côté A C prolongé, on prendra
une partie C D = D F, & par le point C, on menera la droite
C E parallele au côté A B, & par le point D, la droite D E
parallele au côté C B. Le triangle C E D ſera entiérement égal
au triangle D E F (art. 352), puiſque ces triangles ont deux
angles égaux chacun à chacun ſur un même côté: reſte à
11Figure 44
& 45. C eſt égal à l’angle F. Sur le côté A C prolongé, on prendra
une partie C D = D F, & par le point C, on menera la droite
C E parallele au côté A B, & par le point D, la droite D E
parallele au côté C B. Le triangle C E D ſera entiérement égal
au triangle D E F (art. 352), puiſque ces triangles ont deux
angles égaux chacun à chacun ſur un même côté: reſte à
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