1lineis æqualibus DE, EF, FG, igitur propor
tionis ABC: fiant igitur ſuper A, anguli
æquales M & E, per 25. erítque trigonus
ille ſimilis EMN: igitur ex 4. ſexti Elemen.
proportio A ad latera reliqua, vt E M ad
EN, & MN, ſed eadem erat, vt A ad B, &
C, igitur ex 11. quinti Element. & nona,
eiuſdem latera illa æqualia erunt B & C,
quòd eſt propoſitum. Demonſtrata hac 42.
demonſtrabimus 43. quæ erit 10. quarti Ele
ment. Sit AB quam diuido (vt docet 11. ſe
cundi Element.) in C, & per præcedentem
facio trigonum ſuper AB, cuius vnum latus
ſit æquale AB, & ſit AD aliud æquale AC,
93[Figure 93]
& ſit BD: quia itaque AC eſt proportione
media ex 17. ſexti Elementorum, inter AB
& BC, erit & B D æqualis, ac proportione
media inter A B & B C: ducta igitur linea
DC: erit trigonus B A D & B D C angulo
communi B, & lateribus continentibus pro
portionis eiuſdem laterum, ex 6. ſexti Ele
mentor. quare BD æqualis CD, ideóque DC
æqualis CA, & ex ſecunda harum anguli
CDA, & A æquales, & ex 31. DCB, eſt
æqualis vtrique, îgitur duplus ad A. Sed
per 2. harum, DCB eſt æqualis B, & per
eandem B eſt æqualis A D B, igitur tam
ADB, quàm B duplus ad A, quod eſt propo
ſitum. Ex his patet demonſtratas eſſe omnes
propoſitiones quarti, niſi quòd non licebit
circulum circumducere, aut inſcribere, ſed
ſolùm inuenire centrum: ipſáſque figuras
æquilateras & æquiangulas conſtruere, to
tamque doctrina Euclidis, vſque ad finem 6. li
bri, ſeu 9. iam peracta eſt. Vt verò ad finem
reliquorum librorum perueniamus, demon
ſtrabimus 44. quæ eſt, ex quocunque puncto
in diametro propoſito perpendicularem eri
gere, quæ ad contactum periferiæ circuli
perueniat. Nam per 35. inueniemus propor
tione mediam, & per ſextam educemus il
lam perpendicularem ad lineam propoſitam
ex puncto dato, pertingéntque ad periferiæ
locum circuli, cuius propoſita linea eſt dia
meter ex demonſtratione decimætertiæ ſexti
Elementorum, qua Euclides vtitur. Cùm ve
rò quadrageſimam quintam demonſtrare
voluerimus, quæ talis eſt: ſuper datam li
neam triangulum rectum ſupremum ha
bentem, reſpicientémque datam lineam,
cuius latus vnum aſſignatæ lineæ, quæ mi
nor ſit prima, conſtituere, circulum deſcri
bemus nobis iam conceſſum, ductáque dia
metro ex duodecima ſexti, lineam ei ſubiun
gemus, ad quam diameter ſe habeat, vt pri
ma linea ad latus illud: erit igitur hæc li
nea minor diametro circuli conceſſi, quare
ex quadrageſimaprima collocabimus eam
intra circulum, complebimúſque trigonum:
igitur ſuper primam lineam angulum in ex
tremitate, angulo contento ex diametro, &
quarta linea æqualem per vigeſimamquin
tam faciemus, & lineam hanc productam
ex decimatertia faciemus æqualem aſſigna
tæ ſecundæ: quare ex ſexta, ſexti Element.
completo trigono, fiet ſimilis primo & or
thogonius. Quo inuento, ad finem omnium
eorum, quæ ab Euclide ſcripta ſunt, tum ab
Hypſicle addita Alexandrino, abſque impe
dimento perueniemus. Sed hæc (vt vbi) ac
ſimilia, ad oſtentationem ingenij, vtilitatem
verò penè nullam, inuenta ſunt.
tionis ABC: fiant igitur ſuper A, anguli
æquales M & E, per 25. erítque trigonus
ille ſimilis EMN: igitur ex 4. ſexti Elemen.
proportio A ad latera reliqua, vt E M ad
EN, & MN, ſed eadem erat, vt A ad B, &
C, igitur ex 11. quinti Element. & nona,
eiuſdem latera illa æqualia erunt B & C,
quòd eſt propoſitum. Demonſtrata hac 42.
demonſtrabimus 43. quæ erit 10. quarti Ele
ment. Sit AB quam diuido (vt docet 11. ſe
cundi Element.) in C, & per præcedentem
facio trigonum ſuper AB, cuius vnum latus
ſit æquale AB, & ſit AD aliud æquale AC,
93[Figure 93]& ſit BD: quia itaque AC eſt proportione
media ex 17. ſexti Elementorum, inter AB
& BC, erit & B D æqualis, ac proportione
media inter A B & B C: ducta igitur linea
DC: erit trigonus B A D & B D C angulo
communi B, & lateribus continentibus pro
portionis eiuſdem laterum, ex 6. ſexti Ele
mentor. quare BD æqualis CD, ideóque DC
æqualis CA, & ex ſecunda harum anguli
CDA, & A æquales, & ex 31. DCB, eſt
æqualis vtrique, îgitur duplus ad A. Sed
per 2. harum, DCB eſt æqualis B, & per
eandem B eſt æqualis A D B, igitur tam
ADB, quàm B duplus ad A, quod eſt propo
ſitum. Ex his patet demonſtratas eſſe omnes
propoſitiones quarti, niſi quòd non licebit
circulum circumducere, aut inſcribere, ſed
ſolùm inuenire centrum: ipſáſque figuras
æquilateras & æquiangulas conſtruere, to
tamque doctrina Euclidis, vſque ad finem 6. li
bri, ſeu 9. iam peracta eſt. Vt verò ad finem
reliquorum librorum perueniamus, demon
ſtrabimus 44. quæ eſt, ex quocunque puncto
in diametro propoſito perpendicularem eri
gere, quæ ad contactum periferiæ circuli
perueniat. Nam per 35. inueniemus propor
tione mediam, & per ſextam educemus il
lam perpendicularem ad lineam propoſitam
ex puncto dato, pertingéntque ad periferiæ
locum circuli, cuius propoſita linea eſt dia
meter ex demonſtratione decimætertiæ ſexti
Elementorum, qua Euclides vtitur. Cùm ve
rò quadrageſimam quintam demonſtrare
voluerimus, quæ talis eſt: ſuper datam li
neam triangulum rectum ſupremum ha
bentem, reſpicientémque datam lineam,
cuius latus vnum aſſignatæ lineæ, quæ mi
nor ſit prima, conſtituere, circulum deſcri
bemus nobis iam conceſſum, ductáque dia
metro ex duodecima ſexti, lineam ei ſubiun
gemus, ad quam diameter ſe habeat, vt pri
ma linea ad latus illud: erit igitur hæc li
nea minor diametro circuli conceſſi, quare
ex quadrageſimaprima collocabimus eam
intra circulum, complebimúſque trigonum:
igitur ſuper primam lineam angulum in ex
tremitate, angulo contento ex diametro, &
quarta linea æqualem per vigeſimamquin
tam faciemus, & lineam hanc productam
ex decimatertia faciemus æqualem aſſigna
tæ ſecundæ: quare ex ſexta, ſexti Element.
completo trigono, fiet ſimilis primo & or
thogonius. Quo inuento, ad finem omnium
eorum, quæ ab Euclide ſcripta ſunt, tum ab
Hypſicle addita Alexandrino, abſque impe
dimento perueniemus. Sed hæc (vt vbi) ac
ſimilia, ad oſtentationem ingenij, vtilitatem
verò penè nullam, inuenta ſunt.
94[Figure 94]
LIBER DECIMVSSEXTVS.
Circuli pro
prietates 12.
Recti & cir
cularis crea
tio.
prietates 12.
Recti & cir
cularis crea
tio.
AT non vocant vtilitate figu
rarum proprietates illæ ſexa
ginta, quas nunc hîc ſubiicere
propoſitum eſt. Fit enim cir
culus motu non flexilis rei ex
altero termino fixæ: ſicut recta motu plani
eodem loco conſiſtentis, vtpote rotæ ſuper
rem fixam. Sic enim regulæ fiunt. Fiunt & re
cta extentione. Manifeſtum eſt igitur ex hoc,
rectum arte prius eſſe circulari, circulum au
tem natura. Extrema verò hæc, atque ideò
contraria vt periferiam: & quantò minoris
fuerit ambitus. Omnes igitur aliæ lineæ me
diæ ſunt inter rectam, ac circularem, ac quaſi
ex his compoſitæ. Circuli igitur & rectarum
figurarum certa eſt ratio, aliarum in con
ſtans, niſi vt altera ab altera generatione
pendet, vt coni ſuperficies à recta, à coni au
tem ſuperficie paraboles. Ex ſuperficiebus
autem nulla præter circularem generari di
citur, multò minus recti linearum corporum
vllum. Rectilinea enim fiunt, non generan
tur. Simpliciſſimum enim quod rotundum
eſt, vt inter corpora ſphæra, & inter ſuper
ficies circulus. Eius autem duodecim propria
ſunt. In hoc igitvr primo ſecantes ſe lineæ
ſub eadem proportione partes conſtituunt.
Angulúſque contentus ab illarum ſectio
ne, angulis in circumferentia ſuper vtroſ
que arcus conſtitutis pariter acceptis, eſt
rarum proprietates illæ ſexa
ginta, quas nunc hîc ſubiicere
propoſitum eſt. Fit enim cir
culus motu non flexilis rei ex
altero termino fixæ: ſicut recta motu plani
eodem loco conſiſtentis, vtpote rotæ ſuper
rem fixam. Sic enim regulæ fiunt. Fiunt & re
cta extentione. Manifeſtum eſt igitur ex hoc,
rectum arte prius eſſe circulari, circulum au
tem natura. Extrema verò hæc, atque ideò
contraria vt periferiam: & quantò minoris
fuerit ambitus. Omnes igitur aliæ lineæ me
diæ ſunt inter rectam, ac circularem, ac quaſi
ex his compoſitæ. Circuli igitur & rectarum
figurarum certa eſt ratio, aliarum in con
ſtans, niſi vt altera ab altera generatione
pendet, vt coni ſuperficies à recta, à coni au
tem ſuperficie paraboles. Ex ſuperficiebus
autem nulla præter circularem generari di
citur, multò minus recti linearum corporum
vllum. Rectilinea enim fiunt, non generan
tur. Simpliciſſimum enim quod rotundum
eſt, vt inter corpora ſphæra, & inter ſuper
ficies circulus. Eius autem duodecim propria
ſunt. In hoc igitvr primo ſecantes ſe lineæ
ſub eadem proportione partes conſtituunt.
Angulúſque contentus ab illarum ſectio
ne, angulis in circumferentia ſuper vtroſ
que arcus conſtitutis pariter acceptis, eſt