241211LIBER QVINTVS.
tur;
quod tam quadratum ex diametro quadrati deſcriptum duplum ſit 11ſchol. 47.
primi. drati lateris, quam quadratum diametri ſphæræ quadratilateris Octaedri. Se- miſsis verò huius diametri, altitudo erit vtriuſuis Pyramidis. Quare ſi hęcalti-
2214. tertii-
dec. tudo ducatur in tertiam partem quadrati lateris, producetur area vnius pyrami-
dis, id eſt, ſemiſsis Octaedri: ac proinde duplum huius pyramidis aream totius
Octaedri indicabit.
primi. drati lateris, quam quadratum diametri ſphæræ quadratilateris Octaedri. Se- miſsis verò huius diametri, altitudo erit vtriuſuis Pyramidis. Quare ſi hęcalti-
2214. tertii-
dec. tudo ducatur in tertiam partem quadrati lateris, producetur area vnius pyrami-
dis, id eſt, ſemiſsis Octaedri: ac proinde duplum huius pyramidis aream totius
Octaedri indicabit.
4.
Deinde quia ductis ex centro Dodecaedri ad omnes eius angulos re-
33Area Dode-
caedri. ctis lineis, Dodecaedrum in 12. pyramides pentagonas æquales diuiditur; ſi area
vnius pyramidis per cap. 2. inuenta multip licetur per 12. procreabitur area to-
tius Dodecaedri. Vtautem vnius pyramidis area habeatur, neceſſe eſt, & aream
baſis pentagonæ inueſtigare ex latere dato, per ea, quę lib. 4. cap. 5. ſcrip ſimus,
& pyramidis altitu dinem, vtiam docebo. Ex ſuperiori plano producto demit-
tatur ad planum baſis oppoſitæ linea perpendicularis: Huius enim ſemiſsis di-
ligenter inquiſita in partibus lateris Dodecaedri, per inſtrumentum partium lib.
1. cap. 1. conſtructum, dabit pyramidis altitudinem quęſitam, quemadmodum
& tota perpendicularis altitudinem Dodecaedri exhibet. Quamtamen Geo-
metricè ita quoq; deprehendemus. Quia cubus in Dodecaedro deſcriptus 448. quinti
dec. dem ſphęra, qua Dodecaedrum, comprehenditur, eiuſquelatus vnum angulum
Pentagoni Dodecaedri ſubtendit; ideoq; eadem diameter eſt ſphærę, Dodecae-
dri, & cubi: Sirecta ſubtendens angulum pentagoni inueſtigetur, 5512. triang.
rectil. latus cubi: Et quia diameter ſphærę potentia eſt tripla lateris cubi, ſi quadra- tumlateris cubi inuenti triplicetur, habebitur quadratum diametri ſphærę, vel
6615. tertiidec. cubi, cuius radix quadrata ipſam diametrum dabit. Cum ergo diameter Dode-
caedri, & altitudo eiuſdem centra baſium oppoſitarum coniungens ſe in centro
ſecentbifariam, venabimur ſemiſſem huius altitudinis, nimirum altitudinem py-
ramidis quęſitam, hacratione. Concipiatur triangulum rectangulum, cuius ba-
77Perpendicu-
laris è centro
ſphæræ ad ba-
ſem Dodecae-
dri. ſis eſt ſemidiameter Dodecaedri nota, cum tota diameter proximè cognita ſit,
latera verò circa angulum rectum, altitudo pyramidis, & ſemidiameter circuli
baſem Dodecaedri circumſcribentis. Cum ergo ſemidiameter hæc cognoſci
poſsit, ex iis, quę lib. 4. cap. 5. docuimus, cognoſcetur quoque reliquum la- tus, altitudo videlicet pyramidis, quam quærimus. Porrò ſemidiameter prædi-
883. triang.
rectil. cti circuli pentagonum Dodecaed@i circumſcribentis ita quo quered detur no-
ta. Quoniam latus pentagoni ſubtenditin eo circulo grad. 72. & latus Decago-
99Semidiame-
ter circuls
pentagonum
Dodesaedri
circumſcri-
bentis. nigrad. 36. cognita erunt hæc latera in partibus ſinus totius. Si ergo fiat, vt latus
pentagoni in partibus ſinus totius cognitum ad idem latus notum ex hypothe-
ſi, ita latus Decagoni in iiſdem partibus ſinus totius cogniti ad aliud, prodibit
Decagoni latus in menſura lateris pentagoni cognitum. Et quia latus penta- goni poteſt latera decagoni, & Hexagoni eiuſdem circuli, ſi quadratum lateris
decagoni proximè cogniti detrahatur ex quadrato lateris pentagoni, reliquum
101010. tertiidec. fiet quadratum lateris Hexagoni, id eſt, ſemidiametri, ideo que eius radix qua-
drata ſemidiametrum exhibebit notam.
33Area Dode-
caedri. ctis lineis, Dodecaedrum in 12. pyramides pentagonas æquales diuiditur; ſi area
vnius pyramidis per cap. 2. inuenta multip licetur per 12. procreabitur area to-
tius Dodecaedri. Vtautem vnius pyramidis area habeatur, neceſſe eſt, & aream
baſis pentagonæ inueſtigare ex latere dato, per ea, quę lib. 4. cap. 5. ſcrip ſimus,
& pyramidis altitu dinem, vtiam docebo. Ex ſuperiori plano producto demit-
tatur ad planum baſis oppoſitæ linea perpendicularis: Huius enim ſemiſsis di-
ligenter inquiſita in partibus lateris Dodecaedri, per inſtrumentum partium lib.
1. cap. 1. conſtructum, dabit pyramidis altitudinem quęſitam, quemadmodum
& tota perpendicularis altitudinem Dodecaedri exhibet. Quamtamen Geo-
metricè ita quoq; deprehendemus. Quia cubus in Dodecaedro deſcriptus 448. quinti
dec. dem ſphęra, qua Dodecaedrum, comprehenditur, eiuſquelatus vnum angulum
Pentagoni Dodecaedri ſubtendit; ideoq; eadem diameter eſt ſphærę, Dodecae-
dri, & cubi: Sirecta ſubtendens angulum pentagoni inueſtigetur, 5512. triang.
rectil. latus cubi: Et quia diameter ſphærę potentia eſt tripla lateris cubi, ſi quadra- tumlateris cubi inuenti triplicetur, habebitur quadratum diametri ſphærę, vel
6615. tertiidec. cubi, cuius radix quadrata ipſam diametrum dabit. Cum ergo diameter Dode-
caedri, & altitudo eiuſdem centra baſium oppoſitarum coniungens ſe in centro
ſecentbifariam, venabimur ſemiſſem huius altitudinis, nimirum altitudinem py-
ramidis quęſitam, hacratione. Concipiatur triangulum rectangulum, cuius ba-
77Perpendicu-
laris è centro
ſphæræ ad ba-
ſem Dodecae-
dri. ſis eſt ſemidiameter Dodecaedri nota, cum tota diameter proximè cognita ſit,
latera verò circa angulum rectum, altitudo pyramidis, & ſemidiameter circuli
baſem Dodecaedri circumſcribentis. Cum ergo ſemidiameter hæc cognoſci
poſsit, ex iis, quę lib. 4. cap. 5. docuimus, cognoſcetur quoque reliquum la- tus, altitudo videlicet pyramidis, quam quærimus. Porrò ſemidiameter prædi-
883. triang.
rectil. cti circuli pentagonum Dodecaed@i circumſcribentis ita quo quered detur no-
ta. Quoniam latus pentagoni ſubtenditin eo circulo grad. 72. & latus Decago-
99Semidiame-
ter circuls
pentagonum
Dodesaedri
circumſcri-
bentis. nigrad. 36. cognita erunt hæc latera in partibus ſinus totius. Si ergo fiat, vt latus
pentagoni in partibus ſinus totius cognitum ad idem latus notum ex hypothe-
ſi, ita latus Decagoni in iiſdem partibus ſinus totius cogniti ad aliud, prodibit
Decagoni latus in menſura lateris pentagoni cognitum. Et quia latus penta- goni poteſt latera decagoni, & Hexagoni eiuſdem circuli, ſi quadratum lateris
decagoni proximè cogniti detrahatur ex quadrato lateris pentagoni, reliquum
101010. tertiidec. fiet quadratum lateris Hexagoni, id eſt, ſemidiametri, ideo que eius radix qua-
drata ſemidiametrum exhibebit notam.
5.
Postremo quia ductis ex centro Icoſaedri ad omnes eius angulos
1111Area Icoſae-
dri. rectis lineis, Icoſaedrum in 20. pyramides triangulares ęquales diuiditur; ſi
area vnius pyramidis per cap. 2. inuenta multiplicetur per 20. gignetur to-
tius Icoſaedri area ex illis 20. pyramidibus conflata. Vtautem vnius pyramidis
area obtineatur, inueſtiganda primum erit area baſis triangularis, ex iis, quę
lib. 4. cap. 2. Num. 4. & 5. ſcripſimus, Deinde altitudo pyramidis
1111Area Icoſae-
dri. rectis lineis, Icoſaedrum in 20. pyramides triangulares ęquales diuiditur; ſi
area vnius pyramidis per cap. 2. inuenta multiplicetur per 20. gignetur to-
tius Icoſaedri area ex illis 20. pyramidibus conflata. Vtautem vnius pyramidis
area obtineatur, inueſtiganda primum erit area baſis triangularis, ex iis, quę
lib. 4. cap. 2. Num. 4. & 5. ſcripſimus, Deinde altitudo pyramidis