1ſpatium ſpiralis ſuæ contentum intra ean
dem cum recta, eſt velut quadrati ſemidia
metri circuli ad rectangulum ex ſemidia
metro circuli, in rectam præcedentis ſpira
lis, cum tertia parte quadrati ſemidiametri
circuli ambientis primam ſpiram. Quintum
proportio ſectoris circuli circumſcribentis
ſpiralem primam aliquam portionem, ad
ipſam portionem ſpiralem terminatam in
centro, & angulum habentem eundem
cum ſectore, eſt veluti quadrati ſemidia
metri eiuſdem circuli ad rectangulum ex
rectis ſpiralem ſectorem continentibus, ad
dita tertia parte quadrati differentiæ earun
dem linearum. Sextum, cùm ſectorem mi
nore circulo abſcideris, conſtantem inter
duos circulos quorum ſemidiametri ex cir
cumuolutione aliqua aucti ſint, ſpiralis quæ
à termino minoris ad maioris lineæ finem
procedit ſuperficiem diuidens, in duas par
tes eam diuidit, quarum proportio exterio
ris ad interiorem, eſt veluti ſemidiametri
minoris cum duplo tertiæ partis differentiæ
ſemidiametrorum ad ſemidiametrum mino
ris cum tertia parte differentiæ ipſorum
etiam ſemidiametrorum.
dem cum recta, eſt velut quadrati ſemidia
metri circuli ad rectangulum ex ſemidia
metro circuli, in rectam præcedentis ſpira
lis, cum tertia parte quadrati ſemidiametri
circuli ambientis primam ſpiram. Quintum
proportio ſectoris circuli circumſcribentis
ſpiralem primam aliquam portionem, ad
ipſam portionem ſpiralem terminatam in
centro, & angulum habentem eundem
cum ſectore, eſt veluti quadrati ſemidia
metri eiuſdem circuli ad rectangulum ex
rectis ſpiralem ſectorem continentibus, ad
dita tertia parte quadrati differentiæ earun
dem linearum. Sextum, cùm ſectorem mi
nore circulo abſcideris, conſtantem inter
duos circulos quorum ſemidiametri ex cir
cumuolutione aliqua aucti ſint, ſpiralis quæ
à termino minoris ad maioris lineæ finem
procedit ſuperficiem diuidens, in duas par
tes eam diuidit, quarum proportio exterio
ris ad interiorem, eſt veluti ſemidiametri
minoris cum duplo tertiæ partis differentiæ
ſemidiametrorum ad ſemidiametrum mino
ris cum tertia parte differentiæ ipſorum
etiam ſemidiametrorum.
Spiralis li
neæ priuile
gia 6.
neæ priuile
gia 6.
Rectilinea
rum om
nium figura
rum priuile
gium.
rum om
nium figura
rum priuile
gium.
Omnibus figuris rectilineis hoc vnum
eſt commune, quod protractis ſingulis la
teribus exteriores omnes anguli pariter ac
cepti, etiamſi mille fuerint, quatuor rectis
angulis ſunt æquales. Hoc autem ex hoc
pendet, quòd omnes qui intrà continen
tur anguli, tot rectis æquantur, quotus eſt
numerus duplus laterum, ſeu angulorum,
quatuor demptis, quòd ex trigonorum ra
tione pendet, in quos figura diuiditur.
Nam cuiuſlibet trigoni tres anguli pariter
accepti duobus rectis ſunt æquales, exterior
verò angulus duobus interioribus ex aduer
ſo poſitis pariter acceptis eſt æqualis. Area
etiam æqualis eſt producto ex dimidio ag
gregati omnium laterum, in differentiam
cuiuſlibet lateris, ab eodem dimidio omnia
ſimul multiplicando, non iungendo, vt tres
fiant multiplicationes.
eſt commune, quod protractis ſingulis la
teribus exteriores omnes anguli pariter ac
cepti, etiamſi mille fuerint, quatuor rectis
angulis ſunt æquales. Hoc autem ex hoc
pendet, quòd omnes qui intrà continen
tur anguli, tot rectis æquantur, quotus eſt
numerus duplus laterum, ſeu angulorum,
quatuor demptis, quòd ex trigonorum ra
tione pendet, in quos figura diuiditur.
Nam cuiuſlibet trigoni tres anguli pariter
accepti duobus rectis ſunt æquales, exterior
verò angulus duobus interioribus ex aduer
ſo poſitis pariter acceptis eſt æqualis. Area
etiam æqualis eſt producto ex dimidio ag
gregati omnium laterum, in differentiam
cuiuſlibet lateris, ab eodem dimidio omnia
ſimul multiplicando, non iungendo, vt tres
fiant multiplicationes.
Trigonorum
priuilegia.
priuilegia.
Quadrati
proprietas.
proprietas.
Quadrati verò proprium eſt, vt latus eius
inter aggregatum ex ipſo dimetiente, ac
inter differentiam eorundem proportione
media conſiſtat. Hoc autem contingit, quia
dimetiens quadrati quadratum duplum effi
cit ipſi quadrato, cuius erat dimetiens. Æ
quilateri vero pentagoni, & æqui anguli
latus eſt maior pars lineæ diuiſæ, ſecundum
proportionem habentem medium, & duo
extrema, in comparatione ad lineam, quæ
duobus pentagoni eiuſdem lateribus ſubten
ditur. Hexagoni verò latus, qui tamen ſit
( vt dixi ) æquilaterus atque æquiangulus,
æquale eſt ſemidiametro circuli eundem he
xagonum circumſcribentis. Heptagoni ve
rò latus, & linea, quæ duobus eiuſdem la
teribus, ac linea, quæ tribus pariter ſubten
ditur conſtituunt trigonum, ſi fuerit ( vt di
xi ) æquilaterus ac æquiangulus, cuius pro
portio aggregati ex latere & ſubtenſa tri
bus ad ſubtenſam duobus; eſt vt ſubtenſæ
duobus ad latus eiuſdem, & rurſus late
ris, & ſubtenſæ duobus ad ſubtenſam tri
bus, eſt vt ſubtenſæ tribus ad lineam ſub
tenſam duobus eiuſdem heptagoni late
ribus. Hoc autem inferiùs demonſtrabitur.
inter aggregatum ex ipſo dimetiente, ac
inter differentiam eorundem proportione
media conſiſtat. Hoc autem contingit, quia
dimetiens quadrati quadratum duplum effi
cit ipſi quadrato, cuius erat dimetiens. Æ
quilateri vero pentagoni, & æqui anguli
latus eſt maior pars lineæ diuiſæ, ſecundum
proportionem habentem medium, & duo
extrema, in comparatione ad lineam, quæ
duobus pentagoni eiuſdem lateribus ſubten
ditur. Hexagoni verò latus, qui tamen ſit
( vt dixi ) æquilaterus atque æquiangulus,
æquale eſt ſemidiametro circuli eundem he
xagonum circumſcribentis. Heptagoni ve
rò latus, & linea, quæ duobus eiuſdem la
teribus, ac linea, quæ tribus pariter ſubten
ditur conſtituunt trigonum, ſi fuerit ( vt di
xi ) æquilaterus ac æquiangulus, cuius pro
portio aggregati ex latere & ſubtenſa tri
bus ad ſubtenſam duobus; eſt vt ſubtenſæ
duobus ad latus eiuſdem, & rurſus late
ris, & ſubtenſæ duobus ad ſubtenſam tri
bus, eſt vt ſubtenſæ tribus ad lineam ſub
tenſam duobus eiuſdem heptagoni late
ribus. Hoc autem inferiùs demonſtrabitur.
Pentagoni
æquilateri,
& æqui an
guli proprie
tas.
æquilateri,
& æqui an
guli proprie
tas.
Hexagonti,
& heptagoni
conſimilis
proprietas.
& heptagoni
conſimilis
proprietas.
Habent & corpora, & ſuperficies planæ,
obliquæ proprietates: velut Ambiens ſphæ
ram, quadrupla eſt illius maximo circulo,
ipſa verò ſphæra inter corpora omnium pro
ambitus ratione capaciſſima. Continet au
tem, & contineri poteſt à quinque corpori
bus, quæ ſola poſſunt æquas habere omnes
ſuperficies, æquoſque ſolidos angulos, ac la
tera inuicem æqualia. Partium verò ſphæ
ræ, quæ plano ſuper axem propendiculari
diuiduntur, tria ſunt priuilegia. Cuiuſcun
que partis ſphæræ ſuperficies æqualis eſt
circulo, cuius ſemidiameter eſt linea à ver
tice portionis ſphæræ ad terminum circuli,
qui eſt baſis eiuſdem portionis. Ex quo pa
tet, quòd proportio ſuperficierum partium
ſphærę plano ſeparatarum, eſt veluti partium
diametri codem plano diuiſarum, cùm dime
tiens tamen ſphæræ ſuper planum perpen
dicularis fuerit. Proportio partium corpo
rearum ſphæræ, quas planum vnum diſtin
guit diametrum diuidens ei perpendicula
rem, eſt veluti corporis producti ex quadra
to maioris portionis axis, in lineam con
ſtantem ex minore portione, & dimidio
axis, ad corpus, conſtans ex quadrato mino
ris portionis in lineam conſtantem ex dimi
dio, & maiore axis portione.
obliquæ proprietates: velut Ambiens ſphæ
ram, quadrupla eſt illius maximo circulo,
ipſa verò ſphæra inter corpora omnium pro
ambitus ratione capaciſſima. Continet au
tem, & contineri poteſt à quinque corpori
bus, quæ ſola poſſunt æquas habere omnes
ſuperficies, æquoſque ſolidos angulos, ac la
tera inuicem æqualia. Partium verò ſphæ
ræ, quæ plano ſuper axem propendiculari
diuiduntur, tria ſunt priuilegia. Cuiuſcun
que partis ſphæræ ſuperficies æqualis eſt
circulo, cuius ſemidiameter eſt linea à ver
tice portionis ſphæræ ad terminum circuli,
qui eſt baſis eiuſdem portionis. Ex quo pa
tet, quòd proportio ſuperficierum partium
ſphærę plano ſeparatarum, eſt veluti partium
diametri codem plano diuiſarum, cùm dime
tiens tamen ſphæræ ſuper planum perpen
dicularis fuerit. Proportio partium corpo
rearum ſphæræ, quas planum vnum diſtin
guit diametrum diuidens ei perpendicula
rem, eſt veluti corporis producti ex quadra
to maioris portionis axis, in lineam con
ſtantem ex minore portione, & dimidio
axis, ad corpus, conſtans ex quadrato mino
ris portionis in lineam conſtantem ex dimi
dio, & maiore axis portione.
Sphaera pri
uilegia 2.
uilegia 2.
Corporum
quinque
ſphæra con
tentorum
proprietas.
Partium
ſphæræ pri
uilegia 2.
quinque
ſphæra con
tentorum
proprietas.
Partium
ſphæræ pri
uilegia 2.
Hoc autem ex iſto pendet, quòd onus ha
bens baſim eandem cum portione ſphæræ,
ſi talem habeat illius altitudo, ad altitudi
nem portionis portionem, qualis eſt aggre
gati ex altitudine reſiduæ portionis, & dimi
dio axis ad altitudinem eiuſdem reſidui por
tionis, erit conus ille æqualis portionis. Ex
hoc patet, quòd quælibet ſphæra eſt qua
drupla cono, cuius baſis eſt circulus maior,
altitudo verò medietas diametri ſphæræ.
Quilibet etiam conus æqualis eſt ſectori
ſphæræ ( Sectorem autem dico, corpus in
centrum ſphæræ terminatum, cuius baſis
portio eſt ſuperficiei ſphæræ: manifeſtum
eſt etiam illud conſtare portione ſphæræ, &
cono baſim habente ſuperficiem planam
eiuſdem portionis) cùm coni altitudo fuerit
ſemidiameter ſphæræ, & baſis æqualis ſuper
ficiei ſectoris, igitur erunt baſes, & altitudi
nes tunc æquales.
bens baſim eandem cum portione ſphæræ,
ſi talem habeat illius altitudo, ad altitudi
nem portionis portionem, qualis eſt aggre
gati ex altitudine reſiduæ portionis, & dimi
dio axis ad altitudinem eiuſdem reſidui por
tionis, erit conus ille æqualis portionis. Ex
hoc patet, quòd quælibet ſphæra eſt qua
drupla cono, cuius baſis eſt circulus maior,
altitudo verò medietas diametri ſphæræ.
Quilibet etiam conus æqualis eſt ſectori
ſphæræ ( Sectorem autem dico, corpus in
centrum ſphæræ terminatum, cuius baſis
portio eſt ſuperficiei ſphæræ: manifeſtum
eſt etiam illud conſtare portione ſphæræ, &
cono baſim habente ſuperficiem planam
eiuſdem portionis) cùm coni altitudo fuerit
ſemidiameter ſphæræ, & baſis æqualis ſuper
ficiei ſectoris, igitur erunt baſes, & altitudi
nes tunc æquales.
Coni recti
priuilegia
tria.
priuilegia
tria.
Conoidali corpore rectangulo diuiſo per
planum, portio, quæ ad apicem terminatur,
ſeſquialtera eſt coni portioni eandem baſim
ac axem habenti: Conoidalium rurſus rectan
gulorum portiones inuicem proportionem
retinent, ſi plano diuiſæ fuerint, quàm axis
partium earundem ipſius quadrata. Cùm ve
rò Conoidale obtuſiangulum ſecatur plano,
erit proportio partis ad verticem termina
tæ, ad portionem coni eandem baſim, &
axis portionem habenti, qualis lineæ con
ſtantis ex axis parte conoidalis portionis cum
triplo lineæ, quæ ex centro hyperboles, ſeu
obliqui formæ lateris ad eandem axis portionem
cum duplo eiuſdem, quę ex centro hyperboles.
planum, portio, quæ ad apicem terminatur,
ſeſquialtera eſt coni portioni eandem baſim
ac axem habenti: Conoidalium rurſus rectan
gulorum portiones inuicem proportionem
retinent, ſi plano diuiſæ fuerint, quàm axis
partium earundem ipſius quadrata. Cùm ve
rò Conoidale obtuſiangulum ſecatur plano,
erit proportio partis ad verticem termina
tæ, ad portionem coni eandem baſim, &
axis portionem habenti, qualis lineæ con
ſtantis ex axis parte conoidalis portionis cum
triplo lineæ, quæ ex centro hyperboles, ſeu
obliqui formæ lateris ad eandem axis portionem
cum duplo eiuſdem, quę ex centro hyperboles.
Conoida
lium rectan
gulum pri
uilegia 2.
lium rectan
gulum pri
uilegia 2.
Conoida
lium obtuſi
ſi angulorum
priuilegium
lium obtuſi
ſi angulorum
priuilegium
Sed ſphæroidalium priuilegia quatuor ſunt
cùm enim plano diuiditur, per centrum, per
æqualia diuiditur, eritque quælibet portio
dupla cono baſim, & axem æquales portioni
ipſius ſphæroidis habenti. Si præter cen
ſphæroides ſecetur, quomodolibet proportio
cùm enim plano diuiditur, per centrum, per
æqualia diuiditur, eritque quælibet portio
dupla cono baſim, & axem æquales portioni
ipſius ſphæroidis habenti. Si præter cen
ſphæroides ſecetur, quomodolibet proportio