245207DE MATHÉMATIQUE. Liv. IV.
PROPOSITION XVI.
Theoreme.
Theoreme.
412.
Dans tout triangle A B C, le quarré d’un côté A B oppoſé
11Figure 49. à un angle aigu, eſt égal à la ſomme des quarrés des deux autres
côtés, moins deux rectangles égaux, compris ſous le côté A C, op-
poſé au plus grand angle, ſur lequel on a abaiſſé une perpendicu-
laire B D; & la partie C D du même côté A C, compriſe entre l’an-
gle C, auquel ce côté A B eſt oppoſé, & la perpendiculaire B D;
c’eſt-à-dire que l’on aura A B2 = A C2 + B C2 - 2A C x D C.
11Figure 49. à un angle aigu, eſt égal à la ſomme des quarrés des deux autres
côtés, moins deux rectangles égaux, compris ſous le côté A C, op-
poſé au plus grand angle, ſur lequel on a abaiſſé une perpendicu-
laire B D; & la partie C D du même côté A C, compriſe entre l’an-
gle C, auquel ce côté A B eſt oppoſé, & la perpendiculaire B D;
c’eſt-à-dire que l’on aura A B2 = A C2 + B C2 - 2A C x D C.
Demonstration.
Soit fait A B = a, B C = b, A C = c, B D = d, D C = x,
A D ſera c - x. Cela poſé, le triangle rectangle B A D donne
A B2 = B D2 + A D2, ou analytiquement aa = dd + cc - 2cx
+ xx; & par la même raiſon, le triangle rectangle B D C
donne B C2 = B D2 + D C2, ou en termes analytiques,
bb = dd + xx. Si l’on retranche les termes de cette derniere
égalité des termes de la précédente, on aura aa - bb = dd
+ cc - 2cx + xx - dd - xx = cc - 2cx; en effaçant ce
qui ſe détruit, & faiſant paſſer dans l’autre membre le terme
- bb, on aura aa = bb + cc - 2cx, ou A B2 = A C2 + B C2
- 2A C x D C. C. Q. F. D.
A D ſera c - x. Cela poſé, le triangle rectangle B A D donne
A B2 = B D2 + A D2, ou analytiquement aa = dd + cc - 2cx
+ xx; & par la même raiſon, le triangle rectangle B D C
donne B C2 = B D2 + D C2, ou en termes analytiques,
bb = dd + xx. Si l’on retranche les termes de cette derniere
égalité des termes de la précédente, on aura aa - bb = dd
+ cc - 2cx + xx - dd - xx = cc - 2cx; en effaçant ce
qui ſe détruit, & faiſant paſſer dans l’autre membre le terme
- bb, on aura aa = bb + cc - 2cx, ou A B2 = A C2 + B C2
- 2A C x D C. C. Q. F. D.
On démontreroit de la même maniere que l’on auroit
B C2 = A B2 + A C2 - 2A C x A D.
B C2 = A B2 + A C2 - 2A C x A D.
Corollaire.
413.
Puiſque l’on a aa = bb + cc - 2cx, on aura, en
faiſant paſſer - 2cx dans le premier membre, & aa dans le
ſecond, 2cx = bb + cc - aa, d’où l’on tire x = {bb + cc - aa/2c}.
Ce qui fait voir que pour avoir la valeur du ſegment D C, il
faut de la ſomme des quarrés des côtés A C, B C, ôter le quarré
du côté A B oppoſé à l’angle C, & diviſer le reſte par 2c, ou
deux fois le côté ſur lequel on a abaiſſé la perpendiculaire B D.
D’où il ſuit que par la connoiſſance des trois côtés d’un trian-
gle quelconque, on peut toujours trouver la ſurface; car
faiſant paſſer - 2cx dans le premier membre, & aa dans le
ſecond, 2cx = bb + cc - aa, d’où l’on tire x = {bb + cc - aa/2c}.
Ce qui fait voir que pour avoir la valeur du ſegment D C, il
faut de la ſomme des quarrés des côtés A C, B C, ôter le quarré
du côté A B oppoſé à l’angle C, & diviſer le reſte par 2c, ou
deux fois le côté ſur lequel on a abaiſſé la perpendiculaire B D.
D’où il ſuit que par la connoiſſance des trois côtés d’un trian-
gle quelconque, on peut toujours trouver la ſurface; car
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib