245215LIBER QVINTVS.
adſit, ſed ſolum eius latus datum ſitac cognitum.
Sit ergo primo datum latus
Tetraedri A B, quotcunque palmorum,
157[Figure 157]
conſtruaturque triangulum æquilaterum
A B C, pro baſe Tetraedri: Diuiſo autem
latere A B, bifariam in D, iungatur recta
11ſchol. 26.
primi. C D, quæ ad AB, perpendicularis erit. Conſtructo quo que Iſoſcele ABE, cuius
vtrumque latus rectæ CD, æqualeſit, de-
mittatur ad AE, perpendicularis BF, cuius
quarta pars ſit F G. Dico FG, altitudinem
22Altitudo py-
ramidis Te-
traedri. eſſe vnius pyramidis, hoc eſt, æqualem eſ-
ſe perpendiculari ex centro ſphæræ Tetra-
edro circumſcriptæ ad vnam baſem deductæ. Quoniam enim, vt ad finem Eucli-
dis ex Hypſicle demonſtrauimus, E, angulus eſt inclinationis vnius baſis Tetra-
edriad alteram, eſt que EB, perpendiculari CD, æqualis: ſi triangulum B E F,
concipiatur circa EF, moueri, donec rectum ſit ad baſem Tetraedri, cadet pun-
ctum B, in verticem Tetraedri; ac proinde perpendicularis BF, altitudo erit Te-
traedri. Et quia altitudo Tetraedri duas partes tertias diamet@i ſphæræ 332. corol. 13.
tertijdec. net: ſi ſemidiameter ponatur 6. erit altitudo B F, 4. & ſemidiameter 3. Cum ergo altitudo vnius pyramidis ſit tertia pars ſemidiametri, erit BG, ſemidiame-
442. corol. 13.
tertijdec. ter, & G F, altitudo vnius pyramidis. Quam etiam inueniemus, licet Iſoſceles
AEB, non extruatur, hoc modo. Sumpta dH, tertia parte perpendicularis CD,
exciteturad CD, perpendicularis HK, quæ ex D, adinteruallum CD, ſecetur in
K. Dico HI, quartam partem ipſius HK, eſſe altitudinem vnius pyramidis Ere-
cto enim triangulo DHK, ſupra baſem Tetraedri ABC, cadet punctũ K, in ver-
ticem Tetraedri, quod D K, ducta æqualis ſit perpendiculari ex medio latere ad
angulum baſis oppoſitum ductæ. Ergo vt prius, HK, altitudo erit Tetraedri, &
552. corol. 13.
tertijdec. HI, perpendicularis ex centro ſphæræ in H, centrum baſis cadens. Nam D H, tertia pars perpendicularis CD, in centrum trianguli cadit.
Tetraedri A B, quotcunque palmorum,
A B C, pro baſe Tetraedri: Diuiſo autem
latere A B, bifariam in D, iungatur recta
11ſchol. 26.
primi. C D, quæ ad AB, perpendicularis erit. Conſtructo quo que Iſoſcele ABE, cuius
vtrumque latus rectæ CD, æqualeſit, de-
mittatur ad AE, perpendicularis BF, cuius
quarta pars ſit F G. Dico FG, altitudinem
22Altitudo py-
ramidis Te-
traedri. eſſe vnius pyramidis, hoc eſt, æqualem eſ-
ſe perpendiculari ex centro ſphæræ Tetra-
edro circumſcriptæ ad vnam baſem deductæ. Quoniam enim, vt ad finem Eucli-
dis ex Hypſicle demonſtrauimus, E, angulus eſt inclinationis vnius baſis Tetra-
edriad alteram, eſt que EB, perpendiculari CD, æqualis: ſi triangulum B E F,
concipiatur circa EF, moueri, donec rectum ſit ad baſem Tetraedri, cadet pun-
ctum B, in verticem Tetraedri; ac proinde perpendicularis BF, altitudo erit Te-
traedri. Et quia altitudo Tetraedri duas partes tertias diamet@i ſphæræ 332. corol. 13.
tertijdec. net: ſi ſemidiameter ponatur 6. erit altitudo B F, 4. & ſemidiameter 3. Cum ergo altitudo vnius pyramidis ſit tertia pars ſemidiametri, erit BG, ſemidiame-
442. corol. 13.
tertijdec. ter, & G F, altitudo vnius pyramidis. Quam etiam inueniemus, licet Iſoſceles
AEB, non extruatur, hoc modo. Sumpta dH, tertia parte perpendicularis CD,
exciteturad CD, perpendicularis HK, quæ ex D, adinteruallum CD, ſecetur in
K. Dico HI, quartam partem ipſius HK, eſſe altitudinem vnius pyramidis Ere-
cto enim triangulo DHK, ſupra baſem Tetraedri ABC, cadet punctũ K, in ver-
ticem Tetraedri, quod D K, ducta æqualis ſit perpendiculari ex medio latere ad
angulum baſis oppoſitum ductæ. Ergo vt prius, HK, altitudo erit Tetraedri, &
552. corol. 13.
tertijdec. HI, perpendicularis ex centro ſphæræ in H, centrum baſis cadens. Nam D H, tertia pars perpendicularis CD, in centrum trianguli cadit.
Sit deinde datum latus Octaedri L M, ſupra quod conſtruatur triangulum
æquilaterum L M N, pro baſe Octaedri. Diuiſo autem latere L M, bifariam in
O, iungaturrecta N O, quæ ad L M, erit perpendicularis. Conſtructio 66ſchol. 26.
primi. Iſoſcele QRS, ſupra baſem QR, æqualem diametro ſphæræ, vel quadrati ex la-
tere Octaedri deſcripti, (quæ habebitur, ſi educatur perpendicularis MP, lateri
L M, æqualis. Iuncta enim recta L P, diameter erit illius quadrati, vel ſphæræ.)
vtrum que laterum QS, RS, æquale habens perpendiculari N O; ducatur ex R,
ad QS, perpendicularis RT, quæbifariam ſecetur in V. Dico T V, eſſe altitudi-
77Altitudo py-
ramidis Octa-
edri. nem pyramidis quæſitam, hoc eſt, æqualem eſſe perpendiculari ex centro ſphę-
ræ ad vnam baſem Octaedri cadenti. Quoniam enim, vt ad finem Euclidis ex
Hypſicle demonſtrauimus, augulus QSR, in clinationem vnius baſis ad alteram
indicat, eſt que obtuſus, erit perpendicularis R T, cadens ad partes anguli acuti
R S T, æqualis altitudini Octaed@i, id eſt, perpendicularibaſium Octaedri oppo-
ſitarum centra connectenti, vt ex Octaedro materiali perſpicuum eſt: Ac pro-
pterea eius ſemiſsis T V, altitudo erit pyramidis q̃ſita, quod altitudo Octaedri
bifariam ſecetur in centro.
æquilaterum L M N, pro baſe Octaedri. Diuiſo autem latere L M, bifariam in
O, iungaturrecta N O, quæ ad L M, erit perpendicularis. Conſtructio 66ſchol. 26.
primi. Iſoſcele QRS, ſupra baſem QR, æqualem diametro ſphæræ, vel quadrati ex la-
tere Octaedri deſcripti, (quæ habebitur, ſi educatur perpendicularis MP, lateri
L M, æqualis. Iuncta enim recta L P, diameter erit illius quadrati, vel ſphæræ.)
vtrum que laterum QS, RS, æquale habens perpendiculari N O; ducatur ex R,
ad QS, perpendicularis RT, quæbifariam ſecetur in V. Dico T V, eſſe altitudi-
77Altitudo py-
ramidis Octa-
edri. nem pyramidis quæſitam, hoc eſt, æqualem eſſe perpendiculari ex centro ſphę-
ræ ad vnam baſem Octaedri cadenti. Quoniam enim, vt ad finem Euclidis ex
Hypſicle demonſtrauimus, augulus QSR, in clinationem vnius baſis ad alteram
indicat, eſt que obtuſus, erit perpendicularis R T, cadens ad partes anguli acuti
R S T, æqualis altitudini Octaed@i, id eſt, perpendicularibaſium Octaedri oppo-
ſitarum centra connectenti, vt ex Octaedro materiali perſpicuum eſt: Ac pro-
pterea eius ſemiſsis T V, altitudo erit pyramidis q̃ſita, quod altitudo Octaedri
bifariam ſecetur in centro.