1partis eius ad eorum eandem altitudinem
& baſim habentem, eſt velut dimidij axis
cum reliquæ portionis axe, ad eandem re
liquam axis portionem alterius partis ſphæ
roidis. Ex quo patet quartum, quod cùm
ſphæroides, & portio ſphæræ altitudinem
& baſim eandem, aut æquales retinuerint,
ipſæ inuicem erunt æquales.
& baſim habentem, eſt velut dimidij axis
cum reliquæ portionis axe, ad eandem re
liquam axis portionem alterius partis ſphæ
roidis. Ex quo patet quartum, quod cùm
ſphæroides, & portio ſphæræ altitudinem
& baſim eandem, aut æquales retinuerint,
ipſæ inuicem erunt æquales.
Sphæroidis
priuilegia
duo.
priuilegia
duo.
Cylindri pri
uilegia duo.
uilegia duo.
Inde cylindri priuilegia duo.
Cylindrus
cono triplus eſt, altitudinem eandem ac
baſim habenti. Sphæræ verò, cuius diameter
ſit æqualis altitudini ſuæ, & maior circulus
baſi Cylindri ipſe cylindrus ſeſquialter erit.
Hæ igitur ſunt ſexaginta proprietates, nobi
litate, & pulchritudine, & admiratione
præſtantiores, Geometricarum figurarum
tam ſuperficialium, quàm corporearum:
quandoquidem non me præterit eas penè
eſſe infinitas, ſed cum his elegantia non
poſſunt conferri: vel quia nondum demon
ſtratio earum inuenta eſt, vel quia non ex
ſola nominum dignotione poſſunt intellegi,
vel quia ad æqualitatem non referuntur, ſed
quaſi vagantur. Æqualitas enim Geometræ
quidam eſt ſcopus.
cono triplus eſt, altitudinem eandem ac
baſim habenti. Sphæræ verò, cuius diameter
ſit æqualis altitudini ſuæ, & maior circulus
baſi Cylindri ipſe cylindrus ſeſquialter erit.
Hæ igitur ſunt ſexaginta proprietates, nobi
litate, & pulchritudine, & admiratione
præſtantiores, Geometricarum figurarum
tam ſuperficialium, quàm corporearum:
quandoquidem non me præterit eas penè
eſſe infinitas, ſed cum his elegantia non
poſſunt conferri: vel quia nondum demon
ſtratio earum inuenta eſt, vel quia non ex
ſola nominum dignotione poſſunt intellegi,
vel quia ad æqualitatem non referuntur, ſed
quaſi vagantur. Æqualitas enim Geometræ
quidam eſt ſcopus.
Modi tres
inueniendi
Geometrica
theoremata.
inueniendi
Geometrica
theoremata.
Quòd ſi quid aliud demonſtret, vt ma
ius, aut notum? maius quidem æqualis gra
tia, notum cognito æquale. Tripliciter licet
hoc aſſequi, vocaturque Argumenti con
cluſio, ſi directè procedat, aut per nega
tionem, cùm ad inconueniens reſpondens
deducitur. Et per continuam potentiam, ve
lut cùm paraboles, aut ſuperficiei ſphæræ
magnitudo ab Archimede demonſtratur:
eſtque hic modus, quo plerunque vtimur
in ſubtiliſſimis inuentis. Eſt verò duplex hic:
hic ſimplex, qui ex maioris ac minoris conſtat
comparatione, vt in ſphæræ ſuperficiei ma
gnitudine determinanda: alter ex propor
tionibus, quæ fine carent, vt in area pa
raboles. Nihil mirum igitur Geometriam
eſſe omnium ſcientiarum ſubtiliſſimam:
quæ cùm tamen à manifeſtiſſimis initium
ducat, meritò anſam præbuit, vt prima
omnium etiam pueris doceretur. Mirum eſt
quàm breui ex apertiſſimis paucis axioma
tibus ad obſcuriſſima te trahat. Sic etiam
ex humillimis in altiſſima illicò aſſurgit.
ius, aut notum? maius quidem æqualis gra
tia, notum cognito æquale. Tripliciter licet
hoc aſſequi, vocaturque Argumenti con
cluſio, ſi directè procedat, aut per nega
tionem, cùm ad inconueniens reſpondens
deducitur. Et per continuam potentiam, ve
lut cùm paraboles, aut ſuperficiei ſphæræ
magnitudo ab Archimede demonſtratur:
eſtque hic modus, quo plerunque vtimur
in ſubtiliſſimis inuentis. Eſt verò duplex hic:
hic ſimplex, qui ex maioris ac minoris conſtat
comparatione, vt in ſphæræ ſuperficiei ma
gnitudine determinanda: alter ex propor
tionibus, quæ fine carent, vt in area pa
raboles. Nihil mirum igitur Geometriam
eſſe omnium ſcientiarum ſubtiliſſimam:
quæ cùm tamen à manifeſtiſſimis initium
ducat, meritò anſam præbuit, vt prima
omnium etiam pueris doceretur. Mirum eſt
quàm breui ex apertiſſimis paucis axioma
tibus ad obſcuriſſima te trahat. Sic etiam
ex humillimis in altiſſima illicò aſſurgit.
Geometria
ſcientiarum
ſubtiliſſima.
ſcientiarum
ſubtiliſſima.
Reflexa pro
portio quia
ſit.
portio quia
ſit.
Circa Mathematicas tamen contingunt
imperfectæ demonſtrationes, & quodam
modò paralogiſmi. Imperfectæ autem de
monſtrationes inueniuntur maximè in ge
neribus proportionum non perfectæ natu
ræ, qualis eſt reflexa proportio, quæ à no
bis inuenta eſt. Et quia ſubtiliſſimæ & ipſa
eſt contemplationis, & omnibus figuris
æquilateris, quæ circulo inſcribuntur, com
munis, ob id à nobis hîc erit demonſtran
da, tum maximè quod illius auxilio ad la
terum heptagoni inuentionem procedimus,
docemurque reſolutoria methodo vti. Ob
tot igitur cauſas, & tantas quamuis præ
ter ordinem, demonſtratio huius propor
tionis hic ſubiicitur. Cùm igitur fuerint tres
quantitates, quarum proportio aggregati
primæ, & ſecundæ ad tertiam fuerit, velut
tertiæ ad ſecundam, dicetur proportio hæc
reflexa: veluti in numeris capio, 9. 16. 20.
proportio 25. aggregati 9. & 16. ad 20. quæ
eſt qualis 20. ad 16. dicetur proportio re
flexa. Nam 9. eſt prima quantitas, 16. ſecun
da, 20. tertia. Quòd ſi proportio aggregati
primæ, & tertiæ præter hoc fuerit, qualis
ſecundæ ad primam, diceretur tunc reflexa
bis. Hæc autem in numeris exemplo decla
rari non poteſt, ſed ab heptagono, vt do
cebimus, ortum habet. Dico igitur, quod
ſimplex reflexa eſt inter duo latera conti
nentia angulum duplum in aliquo triangu
lo, & latus reſpiciens angulum duplum, &
latus reſpiciens angulum, qui eſt ſubduplus.
Sit igitur triangulus, ſeu triangulum (nihil
enim refert hæc curioſitas ) ABC, cuius B
102[Figure 102]
angulus duplus ſit angulo A, dico propor
tionem aggregati ex AB, BC ad latus AC,
quod angulum reſpicit B duplum, eſſe quale
AC ad B. C quod reſpicit A ſubduplum. Nam
ex nona primi elementorum diuido angu
lum ABC per æqualia linea BD. In duobus
igitur triangulus ABC, & BCD angulus
C communis eſt, & A æqualis CBD, cum
vterque ſit medietas anguli B, & angulus
CDB ex trigeſima ſecunda primi elemento
rum æqualis eſt angulo B: quare duo illi
trianguli erunt æqualium inuicem angulo
rum. Et ideò per quartam ſexti elementorum
Euclidis ( ſemper intellige ) ratio A C ad
CB, eſt qualis CB ad CD Dupla igitur eſt
ratio AC ad CD, ei quæ eſt AC ad BC. At
quia angulus B per æqualia diuiſus eſt, erit
per tertiam ſexti elementorum ratio late
rum vt partium baſis, ſcilicet. AB ad BC,
qualis AD ad DC: quare ex coniuncta pro
portione propter decimaoctauamquinti ele
mentorum ratio aggregati AC, & BC ad
BC, vt AC ad CD. At AC ad CD dupla
ei quæ eſt AC ad BC, dupla igitur eſt ra
tio AB, & BC ad BC, ei quæ eſt A C ad
CB. Igitur ex definitione duplæ proportio
nis ratio aggregati AB & B C ad A C, vt
AC ad BC, quod demonſtrandum fuit. Sit
igitur figuræ cuiuſuis æquilateræ in circu
lo deſcriptæ, puta tredecim habentis late
ra, latus vnum A B, & ſit A D ſubtenſa
duobus lateribus eiuſdem figuræ A C &
CD, & producatur B D quia ergo A B
eſt æqualis AC, & etiam eadem ratione
CD, erunt ſinguli arcus AC & CD æqua
les A B arcui, quare totus arcus A D du
plus arcui A B, ex demonſtratis in tertio
elementorum Euclidis, & vltima ſexti
eiuſdem angulus A B D duplus angulo
103[Figure 103]
A D B duplus angulo ADB: quare ex nu
per demonſtratis ratio aggregati laterum
AB, & B D ad latus AD, veluti lateris
imperfectæ demonſtrationes, & quodam
modò paralogiſmi. Imperfectæ autem de
monſtrationes inueniuntur maximè in ge
neribus proportionum non perfectæ natu
ræ, qualis eſt reflexa proportio, quæ à no
bis inuenta eſt. Et quia ſubtiliſſimæ & ipſa
eſt contemplationis, & omnibus figuris
æquilateris, quæ circulo inſcribuntur, com
munis, ob id à nobis hîc erit demonſtran
da, tum maximè quod illius auxilio ad la
terum heptagoni inuentionem procedimus,
docemurque reſolutoria methodo vti. Ob
tot igitur cauſas, & tantas quamuis præ
ter ordinem, demonſtratio huius propor
tionis hic ſubiicitur. Cùm igitur fuerint tres
quantitates, quarum proportio aggregati
primæ, & ſecundæ ad tertiam fuerit, velut
tertiæ ad ſecundam, dicetur proportio hæc
reflexa: veluti in numeris capio, 9. 16. 20.
proportio 25. aggregati 9. & 16. ad 20. quæ
eſt qualis 20. ad 16. dicetur proportio re
flexa. Nam 9. eſt prima quantitas, 16. ſecun
da, 20. tertia. Quòd ſi proportio aggregati
primæ, & tertiæ præter hoc fuerit, qualis
ſecundæ ad primam, diceretur tunc reflexa
bis. Hæc autem in numeris exemplo decla
rari non poteſt, ſed ab heptagono, vt do
cebimus, ortum habet. Dico igitur, quod
ſimplex reflexa eſt inter duo latera conti
nentia angulum duplum in aliquo triangu
lo, & latus reſpiciens angulum duplum, &
latus reſpiciens angulum, qui eſt ſubduplus.
Sit igitur triangulus, ſeu triangulum (nihil
enim refert hæc curioſitas ) ABC, cuius B
102[Figure 102]angulus duplus ſit angulo A, dico propor
tionem aggregati ex AB, BC ad latus AC,
quod angulum reſpicit B duplum, eſſe quale
AC ad B. C quod reſpicit A ſubduplum. Nam
ex nona primi elementorum diuido angu
lum ABC per æqualia linea BD. In duobus
igitur triangulus ABC, & BCD angulus
C communis eſt, & A æqualis CBD, cum
vterque ſit medietas anguli B, & angulus
CDB ex trigeſima ſecunda primi elemento
rum æqualis eſt angulo B: quare duo illi
trianguli erunt æqualium inuicem angulo
rum. Et ideò per quartam ſexti elementorum
Euclidis ( ſemper intellige ) ratio A C ad
CB, eſt qualis CB ad CD Dupla igitur eſt
ratio AC ad CD, ei quæ eſt AC ad BC. At
quia angulus B per æqualia diuiſus eſt, erit
per tertiam ſexti elementorum ratio late
rum vt partium baſis, ſcilicet. AB ad BC,
qualis AD ad DC: quare ex coniuncta pro
portione propter decimaoctauamquinti ele
mentorum ratio aggregati AC, & BC ad
BC, vt AC ad CD. At AC ad CD dupla
ei quæ eſt AC ad BC, dupla igitur eſt ra
tio AB, & BC ad BC, ei quæ eſt A C ad
CB. Igitur ex definitione duplæ proportio
nis ratio aggregati AB & B C ad A C, vt
AC ad BC, quod demonſtrandum fuit. Sit
igitur figuræ cuiuſuis æquilateræ in circu
lo deſcriptæ, puta tredecim habentis late
ra, latus vnum A B, & ſit A D ſubtenſa
duobus lateribus eiuſdem figuræ A C &
CD, & producatur B D quia ergo A B
eſt æqualis AC, & etiam eadem ratione
CD, erunt ſinguli arcus AC & CD æqua
les A B arcui, quare totus arcus A D du
plus arcui A B, ex demonſtratis in tertio
elementorum Euclidis, & vltima ſexti
eiuſdem angulus A B D duplus angulo
103[Figure 103]A D B duplus angulo ADB: quare ex nu
per demonſtratis ratio aggregati laterum
AB, & B D ad latus AD, veluti lateris