249211DE MATHÉMATIQUE. Liv. V.
tangles:
car puiſque par hypotheſe B D eſt perpendiculaire ſur
A C, on aura A D2 = A B2 - B D2, & D C2 = B C2 - B D2
= A B2 - B D2: donc A D2 = D C2, ou A D = A C.
A C, on aura A D2 = A B2 - B D2, & D C2 = B C2 - B D2
= A B2 - B D2: donc A D2 = D C2, ou A D = A C.
20.
Puiſque les triangles A B D, C B D ſont égaux en tout,
l’angle A B D ſera égal à l’angle C B D; & prolongeant le côté
B D juſqu à la circonférence du cercle en E, les arcs A E, E C
qui meſurent les angles A B E, C B E ſont égaux; & par con-
ſéquent l’arc A C eſt auſſi diviſé en deux parties égales au
point E.
l’angle A B D ſera égal à l’angle C B D; & prolongeant le côté
B D juſqu à la circonférence du cercle en E, les arcs A E, E C
qui meſurent les angles A B E, C B E ſont égaux; & par con-
ſéquent l’arc A C eſt auſſi diviſé en deux parties égales au
point E.
Demonstration.
Soient tirés les rayons A B, B C aux extrêmités de la corde
A C. Cela poſé, puiſque la droite B D diviſe la corde A C en
deux parties égales, le point D de cette droite ſera également
éloigné des extrêmités A, C de la droite A C; & parce que,
par hypotheſe, la même droite B D paſſe par le centre B, ſon
point B ſera encore également éloigné des mêmes extrêmités
A, C : donc elle ſera perpendiculaire à cette corde.
A C. Cela poſé, puiſque la droite B D diviſe la corde A C en
deux parties égales, le point D de cette droite ſera également
éloigné des extrêmités A, C de la droite A C; & parce que,
par hypotheſe, la même droite B D paſſe par le centre B, ſon
point B ſera encore également éloigné des mêmes extrêmités
A, C : donc elle ſera perpendiculaire à cette corde.
Si l’on ſuppoſe que l’arc A C eſt coupé en deux également
par la droite B D, prolongée en E, il eſt viſible que les an-
gles A B E, C B E, meſurés par ces arcs, ſeront égaux; & parce
que le point B eſt le centre du cercle, les rayons B C, A B
ſeront auſſi égaux: donc les triangles A B D, C B D auront un
angle égal compris entre côtés égaux; ainſi ils ſeront parfai-
tement égaux (art. 381). Donc l’angle B D C eſt égal à l’an-
gle B D A: donc la ligne B D ne penche pas plus d’un côté
que de l’autre ſur la ligne A C, & par conſéquent lui eſt per-
pendiculaire. C. Q. F. D.
par la droite B D, prolongée en E, il eſt viſible que les an-
gles A B E, C B E, meſurés par ces arcs, ſeront égaux; & parce
que le point B eſt le centre du cercle, les rayons B C, A B
ſeront auſſi égaux: donc les triangles A B D, C B D auront un
angle égal compris entre côtés égaux; ainſi ils ſeront parfai-
tement égaux (art. 381). Donc l’angle B D C eſt égal à l’an-
gle B D A: donc la ligne B D ne penche pas plus d’un côté
que de l’autre ſur la ligne A C, & par conſéquent lui eſt per-
pendiculaire. C. Q. F. D.