249219LIBER QVINTVS.
vt B, ad E, ita D, ad F;
quod vtrobique poſita ſit eadem proportio multiplex:
e-
rit ex æquo, vt A ad E, ita C, ad F. quod eſt propoſitum.
rit ex æquo, vt A ad E, ita C, ad F. quod eſt propoſitum.
Idem ſequitur ſi A, &
C, ſintipſarum B, D, eædem partes plures non facien-
tes vnam: Item, ſi E, & F, earundem B, D, ſint eædem partes plures non facien-
tes vnam, vt {2/3}. vel {3/5}. & c. Nam ſi verbi gratia A, C, ſint {3/4}. ipſarum B, D, erit
{1/4}. ipſius B, ad B, vt {1/4}. ipſius D, ad D. Igitur erunt quoq; , vt {3/4}. ipſius B, 11ſchol. 22.
quinti. eſt, ipſa A, ad B, ita {3/4}. ipſius D, hoc eſt, ipſa C, ad D. Rurſus ſi verbi gratia E, F,
ſint {2/3}. ipſarum B, D, erit, vt B, ad {1/3}. eiuſdem B, ita D, ad {1/3}. eiuſdem D. 22ſchol. 22.
quinti. inde vt B, ad {2/3}. id eſt, ad E, ita D, ad {2/3}. id eſt, ad F. Quare, vt prius, erit ex æquo,
vt A, ad E, ita C. ad F.
tes vnam: Item, ſi E, & F, earundem B, D, ſint eædem partes plures non facien-
tes vnam, vt {2/3}. vel {3/5}. & c. Nam ſi verbi gratia A, C, ſint {3/4}. ipſarum B, D, erit
{1/4}. ipſius B, ad B, vt {1/4}. ipſius D, ad D. Igitur erunt quoq; , vt {3/4}. ipſius B, 11ſchol. 22.
quinti. eſt, ipſa A, ad B, ita {3/4}. ipſius D, hoc eſt, ipſa C, ad D. Rurſus ſi verbi gratia E, F,
ſint {2/3}. ipſarum B, D, erit, vt B, ad {1/3}. eiuſdem B, ita D, ad {1/3}. eiuſdem D. 22ſchol. 22.
quinti. inde vt B, ad {2/3}. id eſt, ad E, ita D, ad {2/3}. id eſt, ad F. Quare, vt prius, erit ex æquo,
vt A, ad E, ita C. ad F.
COROLLARIVM.
Seqvitvr hinc, ita eſſe {1/4}.
cuiuſuis magnitudinis ad {1/3}.
eiuſdem, vt eſt {1/2}.
cuiuſuis alteri9 magnitudinis ad {2/3}. eiuſdẽ. Quoniã. n. vt oſtendim9, ita eſt {1/4}. prio-
ris magnitudinis ad {1/3}. eiuſdem, vt {1/4}. poſterioris ad {1/3}. eiuſdem. Vtautem {1/4}. 331. quiuti. poſterioris ad {1/3}. ita ſunt {2/4}. ad {2/3}. hoc eſt, {1/2}. ad {2/3}. Igitur erit vt {1/4}. prioris
magnitudinis ad {1/3}. eiuſdem, ita {1/2}. poſterioris magnitudinis ad {2/3}. eiuſdem.
cuiuſuis alteri9 magnitudinis ad {2/3}. eiuſdẽ. Quoniã. n. vt oſtendim9, ita eſt {1/4}. prio-
ris magnitudinis ad {1/3}. eiuſdem, vt {1/4}. poſterioris ad {1/3}. eiuſdem. Vtautem {1/4}. 331. quiuti. poſterioris ad {1/3}. ita ſunt {2/4}. ad {2/3}. hoc eſt, {1/2}. ad {2/3}. Igitur erit vt {1/4}. prioris
magnitudinis ad {1/3}. eiuſdem, ita {1/2}. poſterioris magnitudinis ad {2/3}. eiuſdem.
PROPOSITIO II.
RECTANGVLVM ſub diametro, &
circumferentia maximi circuli
in ſphæra comprehenſum, quadruplum eſt circuli maximi, & ſuper-
ficiei conuexæ eiuſdem ſphęræ ęquale.
in ſphæra comprehenſum, quadruplum eſt circuli maximi, & ſuper-
ficiei conuexæ eiuſdem ſphęræ ęquale.
Sit rectangulum AB, comprehenſum ſub diametro AC, &
circumferentia
CB, maximi in ſphæra circuli. Dico rectangulum AB,
162[Figure 162]
quadruplum eſſe circuli maximi in ſphæra, &
ſuperficiei
conuexæ eiuſdem ſphæræ ęquale. Sectis enim omnibus
lateribus bifariam in E, F, G, H, iunctiſquerectis EG, FH,
ſecantibus ſeſe in I, diuiſum erit totum rectangulum in
quatuor æqualia A I, C I, B I, D I, quodrectæ E G, F 4433. primi. rectis A D, A C, parallelæ ſint. Ac proinderectangulum A B, rectanguli C I,
quadruplum erit. Eſt autem rectangulum C I, contentum ſub C E, ſemidia-
metro, & ſemicircumferentia C F, circulo maximo, cuius nimirum diameter
A C, ęquale, vt lib. 4. capit. 7. Nume. 1. demonſtratum eſt. lgitur rectangu-
lum A B, circulimaximi quadruplum eſt. Et quia eiuſdem circuli maximi qua-
drupla eſt ſuperficies conuexa ſphærę, per propoſ. 31. lib. 1. Archimedis de ſphę-
ra, & Cylindro: ęquale erit rectangulum A B, conuexæ ſuperficiei, quod 559. quinti. rat demonſtrandum.
CB, maximi in ſphæra circuli. Dico rectangulum AB,
conuexæ eiuſdem ſphæræ ęquale. Sectis enim omnibus
lateribus bifariam in E, F, G, H, iunctiſquerectis EG, FH,
ſecantibus ſeſe in I, diuiſum erit totum rectangulum in
quatuor æqualia A I, C I, B I, D I, quodrectæ E G, F 4433. primi. rectis A D, A C, parallelæ ſint. Ac proinderectangulum A B, rectanguli C I,
quadruplum erit. Eſt autem rectangulum C I, contentum ſub C E, ſemidia-
metro, & ſemicircumferentia C F, circulo maximo, cuius nimirum diameter
A C, ęquale, vt lib. 4. capit. 7. Nume. 1. demonſtratum eſt. lgitur rectangu-
lum A B, circulimaximi quadruplum eſt. Et quia eiuſdem circuli maximi qua-
drupla eſt ſuperficies conuexa ſphærę, per propoſ. 31. lib. 1. Archimedis de ſphę-
ra, & Cylindro: ęquale erit rectangulum A B, conuexæ ſuperficiei, quod 559. quinti. rat demonſtrandum.
COROLLARIVM.
EX demonſtratione liquet, rectangulum ſub diametro cuiuſuis circuli, (et-
iamſi non ſit maximus in ſphęra,) & circumferentia eiuſdem, quadruplum eſſe
ipſius circuli. Eadem enim ſemper demonſtratio adhibebitur.
iamſi non ſit maximus in ſphęra,) & circumferentia eiuſdem, quadruplum eſſe
ipſius circuli. Eadem enim ſemper demonſtratio adhibebitur.