1dixit, circuli quadraturam, cùm quę ſciri poſ
ſunt, & nondum ſcita ſunt, refert: & ſi ſcita
non ſit, non obſtarem, quin ſciri non poſſit.
Non tamen dixit ſciri poſſe. Dupliciter au
tem ſciri contingit illam: aut obſcuriore mo
do, quàm cùm ignota eſt: velut per elicas li
neas, quibus vtitur Archimedes, & æqualem
rectam circuli periferiæ deſcribit: aut per
tranſlationem, quam nemo adhuc tentare
auſus eſt, partim ob difficultatem, partim ob
demonſtrandi modum ignotum: alij quòd
confiſi ſint faciliori modo eam inuenire
poſſe: aliis quod ſcripta antiquorum huic
generi demonſtrationis neceſſaria deeſſent,
intacta fuit. Verùm cùm ad certam notionem
non deueniat abſque demonſtrationis auxi
lio, non licet illam percipere ante demonſtra
tionem, vt in quibuſdam arithmeticis quæ
ſtionibus caſu quandoque contigit. Sed de
his hactenus, quæ ad demonſtrandi modos
pertinent, in quibus maximè artis Geome
tricæ ſubtilitatem edocuimus.
ſunt, & nondum ſcita ſunt, refert: & ſi ſcita
non ſit, non obſtarem, quin ſciri non poſſit.
Non tamen dixit ſciri poſſe. Dupliciter au
tem ſciri contingit illam: aut obſcuriore mo
do, quàm cùm ignota eſt: velut per elicas li
neas, quibus vtitur Archimedes, & æqualem
rectam circuli periferiæ deſcribit: aut per
tranſlationem, quam nemo adhuc tentare
auſus eſt, partim ob difficultatem, partim ob
demonſtrandi modum ignotum: alij quòd
confiſi ſint faciliori modo eam inuenire
poſſe: aliis quod ſcripta antiquorum huic
generi demonſtrationis neceſſaria deeſſent,
intacta fuit. Verùm cùm ad certam notionem
non deueniat abſque demonſtrationis auxi
lio, non licet illam percipere ante demonſtra
tionem, vt in quibuſdam arithmeticis quæ
ſtionibus caſu quandoque contigit. Sed de
his hactenus, quæ ad demonſtrandi modos
pertinent, in quibus maximè artis Geome
tricæ ſubtilitatem edocuimus.
Hanc proximè Arithmetica ſequitur, cu
ius ſubtiliſſimum inuentum eſt ars, quam nos
Magnam vocauimus, à nobis inuenta, editá
que, Algebraticam alij dixerunt, cuius eſt
multiplex vtilitas, Ingenium acuere, latera
quantitatum incognita inuenire, & explica
re: eadémque lineis iuxta geometrica inſti
tuta, vel planis aut ſolidis deſcribere: propo
ſita ſoluere problemata, ænigmatáque & malè
ſoluta poſſe refellere, vt lateris heptagoni
magnitudinem à Bouillo
perperam, quæſitam, &
æqualitatem rectæ cum pe
riferia circuli ex libramen
to à Nicolao Cuſa confi
ctam, exploſam verò iure
108[Figure 108]
à Ioanne Monteregio. Conſtant omnia ſim
pliciſſima figura, quæ lineas, areas, & cor
pora etiam oſtendit: ſed & poſt quartam ſe
cundi Element. Euclidis, ſex proximas ſe
quentes. Eſt verò & aliud ſolidi numeri cu
bi compoſitionis genus Arithmeticæ pro
prium, in quo genus reſolutionis, quod à
compoſitione ortum habet, fit manifeſtum.
Omnis enim cubus numerus componitur
ex quadrato ſui lateris, & duplo producti
ex latere in omnes antecedentes numeros
vſque ad vnitatem: velut capio 512. cu
ius latus eſt 8. dico igitur, quòd 8. ductum
in ſe, & fit 64: & in duplum anteceden
tium numerorum, qui ſunt 1. 2. 3. 4. 5. 6.
& 7 ab vnitate ( vt vides ) incipiendo, &
eſt duplum horum 56. & productum ex 8.
in 56. eſt 448. faciunt ipſum cubum, id
eſt, 411. nam 448. & 64. faciunt iuncti 512.
Ab initio autem videbatur hoc non poſſe
demonſtrari, ſed via reſolutionis demonſtra
uimus. Cùm enim quilibet numerus cubus
fiat ex quadrato lateris in latus ſuum, fiet
etiam ex quadrato lateris in vnitatem, &
eodem quadrato in latus vnitate dempta, ex
ſecundi Element. Euclidis primo theore
mate. At productum quadrati in vnitatem
ſemper eſt æquale quadrato, ex demon
ſtratis à nobis in principio ſexti operis perfe
cti, idque etiam ſenſu ipſo percipitur pro
ductum autem quadrati in latus, dempta
vnitate æquale producto lateris in duplum
aggregati omnium præcedentium numero
rum: itaque hoc demonſtrato patet propo
ſitum. Hoc autem rurſus reſolutione indi
get: qualis enim proportio quadrati ad du
plum illius aggregati, talis lateris ad ſeip
ſum dempta vnitate. Igitur ex demonſtra
tis ab Euclide in ſexto Elementorum, tan
tùm fit ex latere in duplum illius aggregati
quantum ex quadrato in latus dempta vni
tate. Oportet igitur rurſus illam propor
tionem oſtendere, atque hæc eſt demon
ſtratio: quia duplum illius aggregati ſem
per eſt æquale producto maximi numeri in
maiorem vnitate, velut duplum aggregati
numerorum vſque ad 7. eſt 56. & hic fit
ex 7. maximo numero in 8. qui maximum
numerum vnitate excedit. Igitur cùm ex la
tere in ſe ducto fiat quadratum ipſius lateris
& ex latere in ſeipſum detracta vnitate fiat
illud duplum, erit ex demonſtratis ab Eucli
de proportio quadrati lateris ad duplum il
lud qualis literis ad ſeipſum detracta vnita
te, quod aſſumpſimus, demonſtrandum. Eſ
ſet igitur iam hoc perfectè oſtenſum, niſi
quod nondum conſtat, quòd ex quolibet nu
mero in vnitate minorem, fiat duplum ag
gregati omnium antecedentium numero
rum. Hoc verò ſic demonſtratur.
ius ſubtiliſſimum inuentum eſt ars, quam nos
Magnam vocauimus, à nobis inuenta, editá
que, Algebraticam alij dixerunt, cuius eſt
multiplex vtilitas, Ingenium acuere, latera
quantitatum incognita inuenire, & explica
re: eadémque lineis iuxta geometrica inſti
tuta, vel planis aut ſolidis deſcribere: propo
ſita ſoluere problemata, ænigmatáque & malè
ſoluta poſſe refellere, vt lateris heptagoni
magnitudinem à Bouillo
perperam, quæſitam, &
æqualitatem rectæ cum pe
riferia circuli ex libramen
to à Nicolao Cuſa confi
ctam, exploſam verò iure
108[Figure 108]à Ioanne Monteregio. Conſtant omnia ſim
pliciſſima figura, quæ lineas, areas, & cor
pora etiam oſtendit: ſed & poſt quartam ſe
cundi Element. Euclidis, ſex proximas ſe
quentes. Eſt verò & aliud ſolidi numeri cu
bi compoſitionis genus Arithmeticæ pro
prium, in quo genus reſolutionis, quod à
compoſitione ortum habet, fit manifeſtum.
Omnis enim cubus numerus componitur
ex quadrato ſui lateris, & duplo producti
ex latere in omnes antecedentes numeros
vſque ad vnitatem: velut capio 512. cu
ius latus eſt 8. dico igitur, quòd 8. ductum
in ſe, & fit 64: & in duplum anteceden
tium numerorum, qui ſunt 1. 2. 3. 4. 5. 6.
& 7 ab vnitate ( vt vides ) incipiendo, &
eſt duplum horum 56. & productum ex 8.
in 56. eſt 448. faciunt ipſum cubum, id
eſt, 411. nam 448. & 64. faciunt iuncti 512.
Ab initio autem videbatur hoc non poſſe
demonſtrari, ſed via reſolutionis demonſtra
uimus. Cùm enim quilibet numerus cubus
fiat ex quadrato lateris in latus ſuum, fiet
etiam ex quadrato lateris in vnitatem, &
eodem quadrato in latus vnitate dempta, ex
ſecundi Element. Euclidis primo theore
mate. At productum quadrati in vnitatem
ſemper eſt æquale quadrato, ex demon
ſtratis à nobis in principio ſexti operis perfe
cti, idque etiam ſenſu ipſo percipitur pro
ductum autem quadrati in latus, dempta
vnitate æquale producto lateris in duplum
aggregati omnium præcedentium numero
rum: itaque hoc demonſtrato patet propo
ſitum. Hoc autem rurſus reſolutione indi
get: qualis enim proportio quadrati ad du
plum illius aggregati, talis lateris ad ſeip
ſum dempta vnitate. Igitur ex demonſtra
tis ab Euclide in ſexto Elementorum, tan
tùm fit ex latere in duplum illius aggregati
quantum ex quadrato in latus dempta vni
tate. Oportet igitur rurſus illam propor
tionem oſtendere, atque hæc eſt demon
ſtratio: quia duplum illius aggregati ſem
per eſt æquale producto maximi numeri in
maiorem vnitate, velut duplum aggregati
numerorum vſque ad 7. eſt 56. & hic fit
ex 7. maximo numero in 8. qui maximum
numerum vnitate excedit. Igitur cùm ex la
tere in ſe ducto fiat quadratum ipſius lateris
& ex latere in ſeipſum detracta vnitate fiat
illud duplum, erit ex demonſtratis ab Eucli
de proportio quadrati lateris ad duplum il
lud qualis literis ad ſeipſum detracta vnita
te, quod aſſumpſimus, demonſtrandum. Eſ
ſet igitur iam hoc perfectè oſtenſum, niſi
quod nondum conſtat, quòd ex quolibet nu
mero in vnitate minorem, fiat duplum ag
gregati omnium antecedentium numero
rum. Hoc verò ſic demonſtratur.
Quilibet autem duo numeri, æqualiter
à medio diſtantes iuncti, duplum medij nu
meri efficiunt, igitur omnes numeri ab vni
tate iuncti ſeriatim, tantum efficiunt, quan
tum ſi medius numerus pro numero illorum
terminorum aſſumeretur. Sed maximus nu
merus continet ad vnguem ordinem illo
rum, igitur omnes numeri ſeriatim ab vni
tate ſumpti: tantum iuncti faciunt, quan
tum medius illorum productus in maiorem.
Igitur duplum aggregati talium numero
rum, eſt æquale duplo producti medij in
maximum illorum. Sed numerus maximo
vnitate maior, duplus eſt medio, igitur ex
numero maximo in vnitate maiorem du
plum fit aggregari omnium numerorum ab
vnitate ad maximum numerum. Eſt & me
dius quidam compoſitionis modus. Sed in
iam declarato, licet per compoſitionem re
ſoluta colligere, atque ſic demonſtrationem
theorematis afferre. Laudabimus & quæ
dam ſingularia inuenta, vt Michaëlis Sti
phelij laterum inuentionem, tranſlatam à
nobis in primum Operis perfecti librum.
à medio diſtantes iuncti, duplum medij nu
meri efficiunt, igitur omnes numeri ab vni
tate iuncti ſeriatim, tantum efficiunt, quan
tum ſi medius numerus pro numero illorum
terminorum aſſumeretur. Sed maximus nu
merus continet ad vnguem ordinem illo
rum, igitur omnes numeri ſeriatim ab vni
tate ſumpti: tantum iuncti faciunt, quan
tum medius illorum productus in maiorem.
Igitur duplum aggregati talium numero
rum, eſt æquale duplo producti medij in
maximum illorum. Sed numerus maximo
vnitate maior, duplus eſt medio, igitur ex
numero maximo in vnitate maiorem du
plum fit aggregari omnium numerorum ab
vnitate ad maximum numerum. Eſt & me
dius quidam compoſitionis modus. Sed in
iam declarato, licet per compoſitionem re
ſoluta colligere, atque ſic demonſtrationem
theorematis afferre. Laudabimus & quæ
dam ſingularia inuenta, vt Michaëlis Sti
phelij laterum inuentionem, tranſlatam à
nobis in primum Operis perfecti librum.
Michaëlis
Stiphelij in
uentum in
Arithmeti
ca.
Muſica ſub
tilitatis in
uentum.
Stiphelij in
uentum in
Arithmeti
ca.
Muſica ſub
tilitatis in
uentum.
Succedunt his muſica inuenta, triplicis
olim ordinis diateſſaron, è quibus ſolùm vnum
nunc diatonicum cognitum eſt, reliquos or
dines ſeu incuria, ſeu difficultate amiſimus.
Nunc verò breuiſſimè illorum reſtitutionem
per nos factam atque in primo, & ſecundo
muſicæ tractatam doceamus. Chromaticum
fit per fictam muſicam, vbi non ſolùm in b
f a b mi, ſed & e la mi, & a la mi re hemi
tonium inducitur, vt in cheli propriè, ſed &
organa eius rationis muſicæ ſunt capacia.
Dulciſſimus videtur hic modus diatonici ge
neris comparatione, ob frequentia hemito
nia: parua enim interualla, & notæ propor
tiones, vocum ſuauitatem afferunt. Innititur
autem Chromaticum genus hemitonio, to-
olim ordinis diateſſaron, è quibus ſolùm vnum
nunc diatonicum cognitum eſt, reliquos or
dines ſeu incuria, ſeu difficultate amiſimus.
Nunc verò breuiſſimè illorum reſtitutionem
per nos factam atque in primo, & ſecundo
muſicæ tractatam doceamus. Chromaticum
fit per fictam muſicam, vbi non ſolùm in b
f a b mi, ſed & e la mi, & a la mi re hemi
tonium inducitur, vt in cheli propriè, ſed &
organa eius rationis muſicæ ſunt capacia.
Dulciſſimus videtur hic modus diatonici ge
neris comparatione, ob frequentia hemito
nia: parua enim interualla, & notæ propor
tiones, vocum ſuauitatem afferunt. Innititur
autem Chromaticum genus hemitonio, to-