254224GEOMETR. PRACT.
3.
VEL ex duab{us} tertiis partib{us} ar@æ circuli maximi in totam diametrum.
4.
VEL ex ſemidiametro in quatuor terti{as} part{es} areæ circuli maximi.
5.
VEL ex ſemiſſe areæ circuli maximi in quatuor terti{as} partes diametri.
6.
VEL ex dupla diametro in tertiam partem areæ circuli maximi.
7.
VEL ex diametro in 6.
partem ſuperficiei ſphæræ.
8.
VEL denique ex tertia parte diametriin ſemiſſem ſuperficiei conuexæ ſphæræ.
Primvm demonſtatum à nobis eſt in commentariis in ſphęram, quam de-
11Demonſtra-
tio primæ par-
tis. monſtrationem repetemus lib. 7. de Iſoperimetris. Idem tamen aliter hac ratio-
ne demonſtrabimus. Concipiatur conus, cuius baſis maximus circulus ſphę-
rę, & altitudo ſemidiameter eiuſdem. Item alius conus, cuius baſis quadrupla
ſit maximi circuli, & altitudo ſemidiameter eadem. Et quia prioris coni tam
ſphęra, per propoſ. 32. lib. 1. Archimedis de ſphęra, & cylindro, quadrupla
eſt, quam poſterior conus: erunt poſterior conus, & ſphęra inter ſe 2211. duodec.quales.
339. quinti.11Demonſtra-
tio primæ par-
tis. monſtrationem repetemus lib. 7. de Iſoperimetris. Idem tamen aliter hac ratio-
ne demonſtrabimus. Concipiatur conus, cuius baſis maximus circulus ſphę-
rę, & altitudo ſemidiameter eiuſdem. Item alius conus, cuius baſis quadrupla
ſit maximi circuli, & altitudo ſemidiameter eadem. Et quia prioris coni tam
ſphęra, per propoſ. 32. lib. 1. Archimedis de ſphęra, & cylindro, quadrupla
eſt, quam poſterior conus: erunt poſterior conus, & ſphęra inter ſe 2211. duodec.quales.
Rvrsvs quia circulus, cuius ſemidiameter ęqualis eſt toti diametro ſpę-
rę, quadruplus eſt circuli maximi. (cum enim ſit circulus ad circulum, vt 442. duodec. dratum diametri ad quadratum diametri: quadratum autem prioris diametri
quadruplum ſit quadrati diametri poſterioris, ex ſcholio propoſ. 4. lib. 2. Eucl.
quòd illa diameter ſit huius dupla; quando quidem ſemiſsis prioris diametri
ſumpta eſt poſteriori diametro ęqualis; erit quoque circulus circuli quadru-
plus.) eritidem circulus, cuius ſemidiameter diametro ſphęrę ęqualis eſt, ęqua-
lis baſi poſterioris coni, cum huius baſis quadrupla etiam poſita ſit maximi circu-
li. Quia verò etiam ſuperficies ſphæræ quadrupla eſt circuli maximi, ex propoſ.
31. lib. 1. Archimedis de ſphæra, & cylindro: Erunt ſuperficies ſphæræ, baſis 559. quinti. ſterioris coni, & circulus ſemidiametrum habens æqualem diametro ſphæræ, inter
ſe æquales.
rę, quadruplus eſt circuli maximi. (cum enim ſit circulus ad circulum, vt 442. duodec. dratum diametri ad quadratum diametri: quadratum autem prioris diametri
quadruplum ſit quadrati diametri poſterioris, ex ſcholio propoſ. 4. lib. 2. Eucl.
quòd illa diameter ſit huius dupla; quando quidem ſemiſsis prioris diametri
ſumpta eſt poſteriori diametro ęqualis; erit quoque circulus circuli quadru-
plus.) eritidem circulus, cuius ſemidiameter diametro ſphęrę ęqualis eſt, ęqua-
lis baſi poſterioris coni, cum huius baſis quadrupla etiam poſita ſit maximi circu-
li. Quia verò etiam ſuperficies ſphæræ quadrupla eſt circuli maximi, ex propoſ.
31. lib. 1. Archimedis de ſphæra, & cylindro: Erunt ſuperficies ſphæræ, baſis 559. quinti. ſterioris coni, & circulus ſemidiametrum habens æqualem diametro ſphæræ, inter
ſe æquales.
Postremo concipiatur cylindrus, cuius baſis ſit prædictus circulus ſemidia-
metrum diametro ſphæræ habens æqualem, altitudo verò ſemidiameter ſphæræ.
Erit hic cylindrus triplus poſterioris coni prædicti: ac proinde & ſphæræ, 6610. duodec. ei cono eſt oſtenſa æqualis. Idem autem cylindrus triplus quoque eſt 7711. duodec. qui eandem habeat altitudinem, & baſem terriæ parti illius cylindri, hoc
eſt, tertiæ parti ſuperficiei ſphæræ, æqualem. Ergo poſterior cylindrus, 889. quinti. ſem habenstertiæ parti ſuperficiei ſphæræ æqualem, altitudinem verò ſemidia-
metro eiuſdem ſphæræ æqualem,) & ſphæra æquales ſunt. Cum ergo cylindrus
hic poſterior contineatur ſub ſemidiametro ſphæræ, & tertia parte ſuperficiei
ſphæricæ: liquidò conſtat, ſphæræ ſoliditatem gigni ex ſemidiametro in partem
tertiam ſuperficiei ſphæræ. Velex @. totius diametri in {2/@}. ſuperficiei ſphæræ: cum
hic numerus illi ſit æqualis. quod eſt primum.
metrum diametro ſphæræ habens æqualem, altitudo verò ſemidiameter ſphæræ.
Erit hic cylindrus triplus poſterioris coni prædicti: ac proinde & ſphæræ, 6610. duodec. ei cono eſt oſtenſa æqualis. Idem autem cylindrus triplus quoque eſt 7711. duodec. qui eandem habeat altitudinem, & baſem terriæ parti illius cylindri, hoc
eſt, tertiæ parti ſuperficiei ſphæræ, æqualem. Ergo poſterior cylindrus, 889. quinti. ſem habenstertiæ parti ſuperficiei ſphæræ æqualem, altitudinem verò ſemidia-
metro eiuſdem ſphæræ æqualem,) & ſphæra æquales ſunt. Cum ergo cylindrus
hic poſterior contineatur ſub ſemidiametro ſphæræ, & tertia parte ſuperficiei
ſphæricæ: liquidò conſtat, ſphæræ ſoliditatem gigni ex ſemidiametro in partem
tertiam ſuperficiei ſphæræ. Velex @. totius diametri in {2/@}. ſuperficiei ſphæræ: cum
hic numerus illi ſit æqualis. quod eſt primum.
Concipiatvr rurſum cylindrus, cuius baſis maximus circulus ſphæræ, &
99Demonſtra-
tio ſecundæ
partis. altitudo diameter ſphæræ. Erit hic cylindrus ſeſquialter ſphæræ, ex coroll. pro-
poſ. 32. libr. 1. Archimedis de ſphæra, & cylindro. Quod ſi ex parte ſuperiori per
tettiam partem diametri ſphæræ, vel axis cylindri, ducatur baſibus cylindri pla-
num parallelum: erit totus cylindrus ad cylindrum abſciſſum, cums axis 101013. duodec. tertiæ partes ſunt totius axis, ſeſquialter; Ac proinde poſterior hic cylindrus
11119. quinti. abſciſſus, qui quidem continetur ſub maximo circulo, nempe ſub ſua baſi, & dua-
bustertiis partibus diametriſphæræ, ſphæræ æqualis erit. Pater igitur etiam ſe-
cundum.
99Demonſtra-
tio ſecundæ
partis. altitudo diameter ſphæræ. Erit hic cylindrus ſeſquialter ſphæræ, ex coroll. pro-
poſ. 32. libr. 1. Archimedis de ſphæra, & cylindro. Quod ſi ex parte ſuperiori per
tettiam partem diametri ſphæræ, vel axis cylindri, ducatur baſibus cylindri pla-
num parallelum: erit totus cylindrus ad cylindrum abſciſſum, cums axis 101013. duodec. tertiæ partes ſunt totius axis, ſeſquialter; Ac proinde poſterior hic cylindrus
11119. quinti. abſciſſus, qui quidem continetur ſub maximo circulo, nempe ſub ſua baſi, & dua-
bustertiis partibus diametriſphæræ, ſphæræ æqualis erit. Pater igitur etiam ſe-
cundum.