255217DE MATHÉMATIQUE. Liv. V.
PROPOSITION XI.
Théoreme.
441.
Si d’un point B quelconque de la circonférence A B C, on
11Figure 65. abaiſſe une perpendiculaire B D ſur le diametre A C; je dis que le
quarré de cette perpendiculaire ſera égal au rectangle des parties
A D, D C du diametre.
11Figure 65. abaiſſe une perpendiculaire B D ſur le diametre A C; je dis que le
quarré de cette perpendiculaire ſera égal au rectangle des parties
A D, D C du diametre.
Demonstration.
Soient tirées les droites A B, B C du point B aux extrê-
mités du diametre A C, le triangle A B C ſera rectangle en B,
puiſque l’angle A B C eſt appuyé ſur la demi-circonférence
(art. 430), & ſera partagé en deux autres triangles A B D,
B D C auſſi rectangles, & qui lui ſeront ſemblables (art. 406).
Comparant ces deux triangles ſemblables, & prenant les côtés
homologues, on aura A D: B D: : B D: D C: donc en pre-
nant le produit des extrêmes & celui des moyens, A D x D C
= B D2. C. Q. F. D.
mités du diametre A C, le triangle A B C ſera rectangle en B,
puiſque l’angle A B C eſt appuyé ſur la demi-circonférence
(art. 430), & ſera partagé en deux autres triangles A B D,
B D C auſſi rectangles, & qui lui ſeront ſemblables (art. 406).
Comparant ces deux triangles ſemblables, & prenant les côtés
homologues, on aura A D: B D: : B D: D C: donc en pre-
nant le produit des extrêmes & celui des moyens, A D x D C
= B D2. C. Q. F. D.
Corollaire I.
442.
Il ſuit de cette propoſition, qu’à quelque point du dia-
metre qu’on éleve une perpendiculaire, elle eſt toujours
moyenne proportionnelle entre les deux parties du même dia-
metre; & c’eſt ce que nous appellerons dans laſuite, la pro-
priété principale du cercle, de laquelle on déduit ſon équation.
metre qu’on éleve une perpendiculaire, elle eſt toujours
moyenne proportionnelle entre les deux parties du même dia-
metre; & c’eſt ce que nous appellerons dans laſuite, la pro-
priété principale du cercle, de laquelle on déduit ſon équation.
Corollaire II.
443.
Il ſuit auſſi de la démonſtration précédente, qu’une
corde quelconque A B eſt moyenne proportionnelle entre le
diametre entier A C, & la partie compriſe entre l’origine de
cette corde & la perpendiculaire B D, abaiſſée de ſon extrê-
mité: car le triangle rectangle B D A eſt ſemblable au grand
triangle C B A, puiſqu’ils ont un angle commun en A, outre
l’angle droit: donc en comparant les côtés homologues, on
aura A C: A B: : A B: A D: donc A D x A C = A B2. On
démontreroit de même que B C eſt moyenne proportionnelle
entre A C & C D.
corde quelconque A B eſt moyenne proportionnelle entre le
diametre entier A C, & la partie compriſe entre l’origine de
cette corde & la perpendiculaire B D, abaiſſée de ſon extrê-
mité: car le triangle rectangle B D A eſt ſemblable au grand
triangle C B A, puiſqu’ils ont un angle commun en A, outre
l’angle droit: donc en comparant les côtés homologues, on
aura A C: A B: : A B: A D: donc A D x A C = A B2. On
démontreroit de même que B C eſt moyenne proportionnelle
entre A C & C D.
Corollaire III.
444.
On auroit pu déduire cette derniere propoſition de
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