255225LIBER QVINTVS.
ALITER.
Sit parallelepipedum A B C, comprehenſum ſub A C, duabus tertiis parti-
bus diametri ſphærę, & ſub baſi AB, quę circulo maximo eiuſdem ſphærę ſit æ-
qualis. Dico parallelepipedum A B C, ſphærę æquale eſſe. Sit enim aliud pa-
rallelepip edum D E F, contentum ſub DF, ſemidiametro ſphærę, & ſub baſe
DE, quę tertię parti ſuperficiei ſphærę ſit æqualis. quod vt in prima parte huius
2. regulę demonſtrauimus, æquale erit ſphærę propoſitæ. Quia ergo baſis A B,
circulo maximo ſpærę æqualis, eſt {1/4}. ſuperficiei ſphærę; erit ex coroll. propoſ@
1. huius cap. vt AB, hoceſt, vt {1/4}. ſuperficiei ſphærę ad DE, id eſt, ad {1/3}. eiuſdem
ſuperficiei, ita DF, hoc eſt, ita {1/2}. diametri ſphærę, ad A C, id
eſt, ad {2/3}. eiuſdem diametri. Ac proinde cum baſes A B, D E,
164[Figure 164]
cumaltitudinibus D F, A C, reciprocentur, 1134. vndec.
ABC, DEF, æqualia inter ſe erunt.
Cum ergo DEF, ſphærę
æquale ſit, vt dictum eſt, erit quoque ABC, eidem ſphærę æ-
quale. quod eſt propoſitum.
bus diametri ſphærę, & ſub baſi AB, quę circulo maximo eiuſdem ſphærę ſit æ-
qualis. Dico parallelepipedum A B C, ſphærę æquale eſſe. Sit enim aliud pa-
rallelepip edum D E F, contentum ſub DF, ſemidiametro ſphærę, & ſub baſe
DE, quę tertię parti ſuperficiei ſphærę ſit æqualis. quod vt in prima parte huius
2. regulę demonſtrauimus, æquale erit ſphærę propoſitæ. Quia ergo baſis A B,
circulo maximo ſpærę æqualis, eſt {1/4}. ſuperficiei ſphærę; erit ex coroll. propoſ@
1. huius cap. vt AB, hoceſt, vt {1/4}. ſuperficiei ſphærę ad DE, id eſt, ad {1/3}. eiuſdem
ſuperficiei, ita DF, hoc eſt, ita {1/2}. diametri ſphærę, ad A C, id
eſt, ad {2/3}. eiuſdem diametri. Ac proinde cum baſes A B, D E,
æquale ſit, vt dictum eſt, erit quoque ABC, eidem ſphærę æ-
quale. quod eſt propoſitum.
ALITER.
Qvoniam ex coroll.
propoſ.
1.
huius cap.
eſt, vt {1/4}.
ſu-
perficiei ſphærę ad {1/@}. eiuſdem ſuperficiei, ita {1/2}. diametriad {2/3}.
eiuſdem diametri: idem numerus efficietur ex primo 2219. ſept. mero, nimirum ex {1/4}. ſuperficiei, id eſt, ex circulo maximo ſphærę, in quartum,
nimirum in {2/3}. diametri, quiex ſecundo, id eſt, ex {1/3}. ſuperficiei, in tertium, hoc
eſt, in {1/2}. diametri. Sed ex {1/3}. ſuperficiei in {1/2}. diametri ſoliditas ſphærę procrea-
tur, vt in primaparte huius 2. regulæoſtenſum eſt. Igitur eadem ſoliditas ex cir-
culo maximo in {2/3}. diametri gignetur. quod eſt propoſitum.
perficiei ſphærę ad {1/@}. eiuſdem ſuperficiei, ita {1/2}. diametriad {2/3}.
eiuſdem diametri: idem numerus efficietur ex primo 2219. ſept. mero, nimirum ex {1/4}. ſuperficiei, id eſt, ex circulo maximo ſphærę, in quartum,
nimirum in {2/3}. diametri, quiex ſecundo, id eſt, ex {1/3}. ſuperficiei, in tertium, hoc
eſt, in {1/2}. diametri. Sed ex {1/3}. ſuperficiei in {1/2}. diametri ſoliditas ſphærę procrea-
tur, vt in primaparte huius 2. regulæoſtenſum eſt. Igitur eadem ſoliditas ex cir-
culo maximo in {2/3}. diametri gignetur. quod eſt propoſitum.
Rvrsvs quia cylindrus, cuius baſis circulus maximus ſphærę, &
altitudo
33Demonſtratio
tertiæ partis. diameter eiuſdem, ſeſquialter eſtipſius ſphærę, ex coroll. propoſ. 32. lib. 1. Ar-
chimedis de ſphæra, & cylindro: Idemque cylindrus ſeſquialter etiam 4411. duodec. dri, cuius baſis æqualis ſit duabus tertiis partibus circulimaximi, & altitudo ea-
559. quinti. dem diameter; erunt poſterior hic cylindrus, & ſphæra æquales: hoc eſt, ſphæra producetur ex {2/3}. areæ maximi circuli in diametrum ſphærę. quod eſt
tertium.
33Demonſtratio
tertiæ partis. diameter eiuſdem, ſeſquialter eſtipſius ſphærę, ex coroll. propoſ. 32. lib. 1. Ar-
chimedis de ſphæra, & cylindro: Idemque cylindrus ſeſquialter etiam 4411. duodec. dri, cuius baſis æqualis ſit duabus tertiis partibus circulimaximi, & altitudo ea-
559. quinti. dem diameter; erunt poſterior hic cylindrus, & ſphæra æquales: hoc eſt, ſphæra producetur ex {2/3}. areæ maximi circuli in diametrum ſphærę. quod eſt
tertium.
Concipiantvr quoque duo parallelepipeda, quorum vnius baſis ſit {2/3}.
66Demonſtratio
quartæ partis. areæ maximi circuli in ſphæra æqualis, & altitudo toti diametro: alterius verò
baſis æqualis ſit {4/3}. areę circuli maximi, & altitudo ſemidiametro. Et quia horum
parallelepipedorum baſes cum altitudinibus reciprocantur: quod tam prioris
baſis ſubdupla ſit baſis poſterioris, quam altitudo poſterioris altitudinis prio-
ris: erunt ipſa parallelepipeda æqualia. Sed prius, per tertiam partem 7734. vndec. 2. regulę, ęquale eſt ſoliditati ſphęrę. Igitur & poſterius. Ideoque ſphęra
producetur ex ſemidiametro in {4/@}. areę circuli maximi. quod quarto loco pro-
ponitur.
66Demonſtratio
quartæ partis. areæ maximi circuli in ſphæra æqualis, & altitudo toti diametro: alterius verò
baſis æqualis ſit {4/3}. areę circuli maximi, & altitudo ſemidiametro. Et quia horum
parallelepipedorum baſes cum altitudinibus reciprocantur: quod tam prioris
baſis ſubdupla ſit baſis poſterioris, quam altitudo poſterioris altitudinis prio-
ris: erunt ipſa parallelepipeda æqualia. Sed prius, per tertiam partem 7734. vndec. 2. regulę, ęquale eſt ſoliditati ſphęrę. Igitur & poſterius. Ideoque ſphęra
producetur ex ſemidiametro in {4/@}. areę circuli maximi. quod quarto loco pro-
ponitur.
Præterea concipiantur duo parallelepipeda, quorum vnius baſis ęqua-
88Demonſtratio
quintæ partis. lis ſit areę circuli in ſphęra maximi, & altitudo ęqualis {2/3}. diametri: alterius ve-
rò baſis ęqualis ſit @ areę circuli maximi, & altitudo {4/3}. diametri. Et quia horum
parallelepipedorum baſes reciprocantur cum altitudinibus; quod tam baſis
in priori dupla ſit baſis in poſteriori, quam altitudo in poſteriori altitudinis
88Demonſtratio
quintæ partis. lis ſit areę circuli in ſphęra maximi, & altitudo ęqualis {2/3}. diametri: alterius ve-
rò baſis ęqualis ſit @ areę circuli maximi, & altitudo {4/3}. diametri. Et quia horum
parallelepipedorum baſes reciprocantur cum altitudinibus; quod tam baſis
in priori dupla ſit baſis in poſteriori, quam altitudo in poſteriori altitudinis
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib