257219DE MATHÉMATIQUE. Liv. V.
PROPOSITION XIII.
Theoreme.
447.
Si d’un point B hors d’un cercle, on mene une tangente BA,
11Figure 67.& une ſécante B C, je dis que le quarré de la tangente A B eſt égal
au rectangle, compris ſous la ſécante entiere BC, & ſa partie ex-
térieure B D.
11Figure 67.& une ſécante B C, je dis que le quarré de la tangente A B eſt égal
au rectangle, compris ſous la ſécante entiere BC, & ſa partie ex-
térieure B D.
Demonstration.
Soient menées les cordes A C &
A D du point de contin-
gence A, aux points C, D, où la ſécante BC rencontre le cer-
cle. Les triangles C A B, A D B ſeront ſemblables, car ils ont
un angle commun en B; & de plus, l’angle A C B, formé par
la corde A C & la ſécante C B, eſt égal à l’angle B A D, formé
par la tangente A B & la corde A D, puiſqu’ils ont chacun
pour meſure la moitié de l’arc A D, compris entre leurs côtés
(art. 429 & 435): donc ces triangles ſont ſemblables (art. 402);
& par conſéquent les côtés homologues ſont proportionnels,
& donnent B C : A B : : A B : B D : donc A B2 = B C x B D.
C. Q. F. D.
gence A, aux points C, D, où la ſécante BC rencontre le cer-
cle. Les triangles C A B, A D B ſeront ſemblables, car ils ont
un angle commun en B; & de plus, l’angle A C B, formé par
la corde A C & la ſécante C B, eſt égal à l’angle B A D, formé
par la tangente A B & la corde A D, puiſqu’ils ont chacun
pour meſure la moitié de l’arc A D, compris entre leurs côtés
(art. 429 & 435): donc ces triangles ſont ſemblables (art. 402);
& par conſéquent les côtés homologues ſont proportionnels,
& donnent B C : A B : : A B : B D : donc A B2 = B C x B D.
C. Q. F. D.
Corollaire.
448.
Il ſuit delà, que ſi deux tangentes A B, B F ſe rencon-
trent dans un point A, les parties A B, B F de ces tangentes,
priſes depuis le point de rencontre juſqu’aux points de con-
tact, ſont égales entr’elles: car on démontrera de même que
pour la tangente A B, que l’on auroit B F2 = B D x B C:
donc puiſque A B2 = B C x B D, on aura A B2 = B F2, &
par conſéquent A B = B F.
trent dans un point A, les parties A B, B F de ces tangentes,
priſes depuis le point de rencontre juſqu’aux points de con-
tact, ſont égales entr’elles: car on démontrera de même que
pour la tangente A B, que l’on auroit B F2 = B D x B C:
donc puiſque A B2 = B C x B D, on aura A B2 = B F2, &
par conſéquent A B = B F.
Il eſt à remarquer, que l’on auroit pu déduire cette propo-
ſition, immédiatement de la dixieme: car ſi l’on imagine
que la ſécante A B tourne au tour du point A comme d’une char-
22Figure 64. niere, on verra que les points B, D s’approchant continuelle-
ment l’un de l’autre, ſe confondront enfin, lorſque la ligne
A B ſera devenue tangente dans un ſeul point, & alors le rec-
tangle A B x A D deviendra le quarré de la même tangente,
qui ſera égal au produit de la ſécante entiere A C par ſa partie
extérieure A E.
ſition, immédiatement de la dixieme: car ſi l’on imagine
que la ſécante A B tourne au tour du point A comme d’une char-
22Figure 64. niere, on verra que les points B, D s’approchant continuelle-
ment l’un de l’autre, ſe confondront enfin, lorſque la ligne
A B ſera devenue tangente dans un ſeul point, & alors le rec-
tangle A B x A D deviendra le quarré de la même tangente,
qui ſera égal au produit de la ſécante entiere A C par ſa partie
extérieure A E.
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