265259OPTICAE LIBER VII.
in circulo:
angulus ſectionis erit æqualis angulo, qui eſt apud circumferentiam, quam chordant
duo arcus, quos diſtinguunt illæ duæ chordæ. Et ſi duæ hneæ ſecuerint circulum, & ſecuerint ſe
extra circulum: angulus ſectionis erit æqualis angulo,
225[Figure 225]h a b g e f d e z qui eſt apud circũferentiam, quã chordat exceſſus ma
ioris illorum duorũ arcuũ, quos diſtinguunt illæ duæ
lineæ, ſupra reliquũ. Verbi gratia: in circulo a b c d ſe-
cent ſe duæ chordę a c, b d in e. Dico igitur, quòd angu
lus a e b eſt æqualis angulo, qui eſt apud circumferen-
rẽtiam, quam reſpiciunt duo arcus a b, c d: & quòd an-
gulus b e c eſt æqualis angulo in circumferẽtia, quam
reſpiciũt duo arcus d g a, b z c. Extrahamus enim ex b
lineam b z æquidiſtantẽ lineæ a c [ք 31 p 1] arcus ergo
c z eſt æqualis arcui a b [Ducta enim recta a z: æquabi
tur angulus c a z angulo a z b ք 29 p 1: ideoq́; periphe-
ria c z peripherię a b ք 26 p 3: ] & arcusc d eſt cõmunis:
ergo arcus d z eſt æqualis duobus arcubus, a b, c d: ſed
arcus d z reſpicit angulũ d b z [ք 8 d 3] ergo d z reſpicit
arcus æquales duob. arcubus a b, c d: & [ք 29 p 1] an-
gulus d b z eſt æqualis angulo a e b: ergo angulus a e b
eſt æqualis angulo, qui eſt in circum ferẽtia, quã reſpi-
ciunt duo arcus a b, c d. Et hoc eſt quod uoluimus. Itẽ continuemus d z: & producamus z b in h: e-
rit ergo [per 32 p 1] angulus h b d æqualis duob. angulis b d z, b z d, & [per 8 d 3] duo anguli b z d,
b d z reſpiciuntur à duobus arcubus b g d, b f z: angu-
226[Figure 226]h a b e d c z lus ergo h b d eſt æqualis angulo, quem reſpicit arcus
d b z: & arcus a b eſt æqualis arcui z c, [ex cõcluſo: ] re
go arcus d b z eſt æqualis duobus arcubus d g a, b z c:
ergo angulus h b e eſt æqualis angulo, quẽ reſpiciunt
duo arcus d g a, b z c: & [per 29 p 1] angulus h b e eſt ę-
qualis angulo b e c. Ergo angulus b e c eſt æqualis an-
gulo, qui eſt in circumferẽtia, quã reſpiciũt duo arcus
d g a, b z c. Et hoc eſt, quod uoluimus declarare. Et ſi li
nea h b z contingat circulum: tunc [per 32 p 3] angu-
lus e b z erit æqualis angulo cadẽti in portionẽ b a d: &
ſic arcus b c d reſpicit angulum apud circumferẽtiam,
æqualem angulo e b z: & [per 29 p 1] angulus e b z eſt
æqualis angulo b e a: ergo angulus b e a eſt æqualis an
gulo, qui eſt apud circumferentiam, quẽ reſpicit arcus
b c d: & arcus b c eſt æqualis arcui b a: quia diameter,
quæ exit ex b, eſt perpendicularis ſuper lineã a c: [Nã
diameter per punctũ b educta, eſt perpẽdicularis tan-
gẽti per 18 p 3: itaq; per 29 p 1 eſt perpẽdicularis ipſi a c ad tangentẽ parallelę] quare [per 3 p 3] diui
ditipſam in duo æqualia: ergo arcus a b æqualis erit arcui b c: [ductis enim rectis a b, b c: erũt ipſæ
ք 4 p 1 æquales: ideoq́; peripheriæ a b, b c ipſis ſubtẽſæ, per 28 p 3: ] arcus ergo b c d eſt ęqualis duo-
bus arcubus a b, c d: ergo angulus b e a eſt æqualis angulo, ꝗ eſt apud circũferẽtiam, quẽ reſpiciunt
duo arcus a b, c d. Et ſimiliter declarabitur, quòd angulus b e c eſt æqualis angulo, qui eſt apud cir-
cumferentiam, quem reſpiciunt duo arcus b c, a d. Et hoc eſt quod uoluimus.
duo arcus, quos diſtinguunt illæ duæ chordæ. Et ſi duæ hneæ ſecuerint circulum, & ſecuerint ſe
extra circulum: angulus ſectionis erit æqualis angulo,
225[Figure 225]h a b g e f d e z qui eſt apud circũferentiam, quã chordat exceſſus ma
ioris illorum duorũ arcuũ, quos diſtinguunt illæ duæ
lineæ, ſupra reliquũ. Verbi gratia: in circulo a b c d ſe-
cent ſe duæ chordę a c, b d in e. Dico igitur, quòd angu
lus a e b eſt æqualis angulo, qui eſt apud circumferen-
rẽtiam, quam reſpiciunt duo arcus a b, c d: & quòd an-
gulus b e c eſt æqualis angulo in circumferẽtia, quam
reſpiciũt duo arcus d g a, b z c. Extrahamus enim ex b
lineam b z æquidiſtantẽ lineæ a c [ք 31 p 1] arcus ergo
c z eſt æqualis arcui a b [Ducta enim recta a z: æquabi
tur angulus c a z angulo a z b ք 29 p 1: ideoq́; periphe-
ria c z peripherię a b ք 26 p 3: ] & arcusc d eſt cõmunis:
ergo arcus d z eſt æqualis duobus arcubus, a b, c d: ſed
arcus d z reſpicit angulũ d b z [ք 8 d 3] ergo d z reſpicit
arcus æquales duob. arcubus a b, c d: & [ք 29 p 1] an-
gulus d b z eſt æqualis angulo a e b: ergo angulus a e b
eſt æqualis angulo, qui eſt in circum ferẽtia, quã reſpi-
ciunt duo arcus a b, c d. Et hoc eſt quod uoluimus. Itẽ continuemus d z: & producamus z b in h: e-
rit ergo [per 32 p 1] angulus h b d æqualis duob. angulis b d z, b z d, & [per 8 d 3] duo anguli b z d,
b d z reſpiciuntur à duobus arcubus b g d, b f z: angu-
226[Figure 226]h a b e d c z lus ergo h b d eſt æqualis angulo, quem reſpicit arcus
d b z: & arcus a b eſt æqualis arcui z c, [ex cõcluſo: ] re
go arcus d b z eſt æqualis duobus arcubus d g a, b z c:
ergo angulus h b e eſt æqualis angulo, quẽ reſpiciunt
duo arcus d g a, b z c: & [per 29 p 1] angulus h b e eſt ę-
qualis angulo b e c. Ergo angulus b e c eſt æqualis an-
gulo, qui eſt in circumferẽtia, quã reſpiciũt duo arcus
d g a, b z c. Et hoc eſt, quod uoluimus declarare. Et ſi li
nea h b z contingat circulum: tunc [per 32 p 3] angu-
lus e b z erit æqualis angulo cadẽti in portionẽ b a d: &
ſic arcus b c d reſpicit angulum apud circumferẽtiam,
æqualem angulo e b z: & [per 29 p 1] angulus e b z eſt
æqualis angulo b e a: ergo angulus b e a eſt æqualis an
gulo, qui eſt apud circumferentiam, quẽ reſpicit arcus
b c d: & arcus b c eſt æqualis arcui b a: quia diameter,
quæ exit ex b, eſt perpendicularis ſuper lineã a c: [Nã
diameter per punctũ b educta, eſt perpẽdicularis tan-
gẽti per 18 p 3: itaq; per 29 p 1 eſt perpẽdicularis ipſi a c ad tangentẽ parallelę] quare [per 3 p 3] diui
ditipſam in duo æqualia: ergo arcus a b æqualis erit arcui b c: [ductis enim rectis a b, b c: erũt ipſæ
ք 4 p 1 æquales: ideoq́; peripheriæ a b, b c ipſis ſubtẽſæ, per 28 p 3: ] arcus ergo b c d eſt ęqualis duo-
bus arcubus a b, c d: ergo angulus b e a eſt æqualis angulo, ꝗ eſt apud circũferẽtiam, quẽ reſpiciunt
duo arcus a b, c d. Et ſimiliter declarabitur, quòd angulus b e c eſt æqualis angulo, qui eſt apud cir-
cumferentiam, quem reſpiciunt duo arcus b c, a d. Et hoc eſt quod uoluimus.
227[Figure 227]e a b d f c
25. Si duæ rectæ lineæ circulo inſcriptæ, extrà cõtinuatæ cõcurrant: angulus concurſ{us} æqua-
tur angulo in peripheria, inſiſtenti in peripheriã, qua maior peri-
pheriarum inter inſcript{as} cõprehenſarũ exuperat minorẽ. 55 p 1.
tur angulo in peripheria, inſiſtenti in peripheriã, qua maior peri-
pheriarum inter inſcript{as} cõprehenſarũ exuperat minorẽ. 55 p 1.
ITem:
ſit e extra circulũ a b c d:
& extrahamus ex e duas lineas ſe-
cantes circulũ a b c d: & ſint e a d, e b c. Dico ergo, quòd angulus
c e d eſt æqualis angulo, ꝗ eſt apud circũferẽtiã circuli, quẽ reſpi-
cit arcus exceſſus d c ſupera arcũ a b. Extrahamus enim lineã æquidi-
ſtantẽ lineæ b c [per 31 p 1] erit ergo [ut paulò antè oſtẽſum eſt] ar-
cus f c æqualis arcui a b: erit ergo arcus d f exceſſus arcus d c ſupra
arcũ a b: ſed [per 8 d 3] arcus d freſpicit angulũ d a f: & [per 29 p 1]
angulus d a f eſt æqualis angulo c e d: ergo c e d eſt æqualis angulo,
qui eſt apud circumferentiam d f. Et hoc eſt quod uoluimus.
cantes circulũ a b c d: & ſint e a d, e b c. Dico ergo, quòd angulus
c e d eſt æqualis angulo, ꝗ eſt apud circũferẽtiã circuli, quẽ reſpi-
cit arcus exceſſus d c ſupera arcũ a b. Extrahamus enim lineã æquidi-
ſtantẽ lineæ b c [per 31 p 1] erit ergo [ut paulò antè oſtẽſum eſt] ar-
cus f c æqualis arcui a b: erit ergo arcus d f exceſſus arcus d c ſupra
arcũ a b: ſed [per 8 d 3] arcus d freſpicit angulũ d a f: & [per 29 p 1]
angulus d a f eſt æqualis angulo c e d: ergo c e d eſt æqualis angulo,
qui eſt apud circumferentiam d f. Et hoc eſt quod uoluimus.
26. Sι cõmunis ſectio ſuperficierũ refractionis & refractiui con
uexi fuerit peripheria: uiſibile in perpendiculari à uiſu ſuper re-
fractiuum duct a: rectè, & unum uidebitur. 22 p 10.
uexi fuerit peripheria: uiſibile in perpendiculari à uiſu ſuper re-
fractiuum duct a: rectè, & unum uidebitur. 22 p 10.
HIs ergo declaratis, ſit uiſus punctũ a:
& ſit pũctum b in aliquo
uiſo: & ſit ultra corpus diaphanũ groſsius corpore, qđ eſt in
uiſo: & ſit ultra corpus diaphanũ groſsius corpore, qđ eſt in