“ Scholium. — Omitte, si lubet, hoc primum Lemma, tamquam satis
notum ex XIII Secundi Elementorum. ”
notum ex XIII Secundi Elementorum. ”
“ Lemma II. — Si fuerit circuli sector quadrante minor, perpendicu
laris in triangulo, ad reliquam sagittam, magis quam dupla erit. ”
laris in triangulo, ad reliquam sagittam, magis quam dupla erit. ”
“ Esto circuli sector ABCD (fig. 129), quadrante minor, cuius chorda
sit AC, et ex centro D demissa perpendicularis DE ad AC: dico DE, ad re
634[Figure 634]
sit AC, et ex centro D demissa perpendicularis DE ad AC: dico DE, ad re
634[Figure 634]Figura 129.
liquam sagittam EB, magis quam duplam esse. Dupla
enim esse non potest, quoniam, si ponatur DE dupla
reliqua EB, erit BD, sive CD. ad DE, ut 3 ad 2. Ergo
quadratum CD ad DB erit ut 9 ad 4. Quadratum
vero idem DC, per conversionem rationis, ad CE erit
ut 9 ad 6, et duo simul quadrata CD, DA, ad qua
dratum AO, erunt ut 18 ad 20. Propterea, per Lemma
praec., angulus ADC obtusus, quod est contra sup
positum. ”
liquam sagittam EB, magis quam duplam esse. Dupla
enim esse non potest, quoniam, si ponatur DE dupla
reliqua EB, erit BD, sive CD. ad DE, ut 3 ad 2. Ergo
quadratum CD ad DB erit ut 9 ad 4. Quadratum
vero idem DC, per conversionem rationis, ad CE erit
ut 9 ad 6, et duo simul quadrata CD, DA, ad qua
dratum AO, erunt ut 18 ad 20. Propterea, per Lemma
praec., angulus ADC obtusus, quod est contra sup
positum. ”
“ Maius quam dupla non potest esse. Quoniam, si ponatur DE minus
quam dupla reliquae EB, erit composita BD, sive CD, magis quam sesqui
altera ipsius DE. Qualium igitur partium CD est 3, ipsa DB est minus quam 2.
Qualium vero partium quadratum CD est 9, talium quadratum DE minus
erit quam 4, et talium CE quadratum erit magis quam 5. Qualium itaque
partium quadrata simul CD, DA sunt 18, talium quadratum AC est magis
quam 20. Ergo, per Lemma praec., angulus ADC est obtusus, quod est con
tra suppositum. Superest igitur quod recta DE, ad reliquam EB, sit magis
quam dupla, quod erat propositum demonstrare. ”
quam dupla reliquae EB, erit composita BD, sive CD, magis quam sesqui
altera ipsius DE. Qualium igitur partium CD est 3, ipsa DB est minus quam 2.
Qualium vero partium quadratum CD est 9, talium quadratum DE minus
erit quam 4, et talium CE quadratum erit magis quam 5. Qualium itaque
partium quadrata simul CD, DA sunt 18, talium quadratum AC est magis
quam 20. Ergo, per Lemma praec., angulus ADC est obtusus, quod est con
tra suppositum. Superest igitur quod recta DE, ad reliquam EB, sit magis
quam dupla, quod erat propositum demonstrare. ”
“ Lemma III. — Quilibet circuli sector, sive quaelibet figura rectilinea,
vel intra vel circa ipsum per continuam arcus bisectionem descripta, centrum
gravitatis habet in axe: hoc est in recta, quae bifariam secat angulum, qui
ad centrum est. ”
vel intra vel circa ipsum per continuam arcus bisectionem descripta, centrum
gravitatis habet in axe: hoc est in recta, quae bifariam secat angulum, qui
ad centrum est. ”
Il lemma fa riscontro esatto con la XX del Della Faille, ma vedasi
quanto il processo dimostrativo ne sia diverso, supposto con Archimede che
delle figure congruenti i centri di gravità convengano insieme.
quanto il processo dimostrativo ne sia diverso, supposto con Archimede che
delle figure congruenti i centri di gravità convengano insieme.
“ Esto circuli sector, vel figura plana qualis dicta fuit, ABCD (fig. 130),
linea vero bisecans angulum ADC sit DB: dico in recta BD esse centrum
635[Figure 635]
linea vero bisecans angulum ADC sit DB: dico in recta BD esse centrum
635[Figure 635]Figura 130.
totius figurae. Supponamus enim centra partium
esse quaelibet puncta E et F, ducaturque recta
EF. Superpositis itaque invicem figurae partibus
BAD, BCD, ipsae partes congruent, ob aequali
tatem omnium angulorum, omniumque laterum.
Centra igitur E et F, per suppositionem prae
missam ex Archimede, congruent, quare recta
E, I congruet cum IF, aequalesque erunt EI,
IF. Sunt autem et magnitudines, quarum cen
tra E et F, aequales inter se. Ergo magnitudinis, ex utrisque magnitudi
nibus compositae, centrum gravitatis erit punctum I: punctum videlicet
totius figurae. Supponamus enim centra partium
esse quaelibet puncta E et F, ducaturque recta
EF. Superpositis itaque invicem figurae partibus
BAD, BCD, ipsae partes congruent, ob aequali
tatem omnium angulorum, omniumque laterum.
Centra igitur E et F, per suppositionem prae
missam ex Archimede, congruent, quare recta
E, I congruet cum IF, aequalesque erunt EI,
IF. Sunt autem et magnitudines, quarum cen
tra E et F, aequales inter se. Ergo magnitudinis, ex utrisque magnitudi
nibus compositae, centrum gravitatis erit punctum I: punctum videlicet