“ Lemma IV. — Centrum gravitatis sectoris circuli, quadrante mino
ris, est inter centra triangulorum, quorum alterum inscriptum sit, alterum
vero ipsi sectori circumscriptum. ”
ris, est inter centra triangulorum, quorum alterum inscriptum sit, alterum
vero ipsi sectori circumscriptum. ”
“ Esto sector ABCD (fig. 131), quadrante minor, triangulum vero inscri
ptum sit ACD, circumscriptum EFD. Patet quod perpendicularis DG magis
636[Figure 636]
ptum sit ACD, circumscriptum EFD. Patet quod perpendicularis DG magis
636[Figure 636]Figura 131.
quam dupla erit ad reliquam GB. Sit ergo DI
dupla ad IB, et DO dupla ad OG, eruntque puncta
I et O centra gravitatis triangulorum EFD, ACD.
Dico inter puncta O et I esse centrum gravitatis
sectoris ABCD. Sit enim, si esse potest, centrum
gravitatis sectoris punctum I. Cum ergo I sit cen
trum totius, hoc est trianguli EFD et partis unius,
nempe sectoris ABCD; erit necessario centrum
gravitatis etiam partis alterius, nempe trilineo
rum EAB, BCF, quod est absurdum. Sit, si esse
potest, O. Cum ergo O sit centrum gravitatis totius magnitudinis, nempe
sectoris, partisque unius, nempe trianguli ACD; erit omnino centrum etiam
partis alterius, nempe segmenti ABC, quod est absurdum: Sit si esse potest V.
Cum ergo I sit centrum totius magnitudinis, hoc est trianguli EFD, V vero
centrum partis unius, nempe sectoris; erit centrum alterius partis, nempe
trilineorum EAB, BCF omnino versus D, quod est impossibile. Sit denique,
si esse potest, R. Cum ergo R sit centrum totius, nempe sectoris ABCD,
punctum autem O partis unius, hoc est trianguli ADC; erit centrum alterius
partis, nempe segmenti ABC, omnino ulterius versus D, quod est absurdum.
Superest ergo quod centrum gravitatis sectoris sit inter puncta I et O, quod
erat propositum demonstrare. ”
quam dupla erit ad reliquam GB. Sit ergo DI
dupla ad IB, et DO dupla ad OG, eruntque puncta
I et O centra gravitatis triangulorum EFD, ACD.
Dico inter puncta O et I esse centrum gravitatis
sectoris ABCD. Sit enim, si esse potest, centrum
gravitatis sectoris punctum I. Cum ergo I sit cen
trum totius, hoc est trianguli EFD et partis unius,
nempe sectoris ABCD; erit necessario centrum
gravitatis etiam partis alterius, nempe trilineo
rum EAB, BCF, quod est absurdum. Sit, si esse
potest, O. Cum ergo O sit centrum gravitatis totius magnitudinis, nempe
sectoris, partisque unius, nempe trianguli ACD; erit omnino centrum etiam
partis alterius, nempe segmenti ABC, quod est absurdum: Sit si esse potest V.
Cum ergo I sit centrum totius magnitudinis, hoc est trianguli EFD, V vero
centrum partis unius, nempe sectoris; erit centrum alterius partis, nempe
trilineorum EAB, BCF omnino versus D, quod est impossibile. Sit denique,
si esse potest, R. Cum ergo R sit centrum totius, nempe sectoris ABCD,
punctum autem O partis unius, hoc est trianguli ADC; erit centrum alterius
partis, nempe segmenti ABC, omnino ulterius versus D, quod est absurdum.
Superest ergo quod centrum gravitatis sectoris sit inter puncta I et O, quod
erat propositum demonstrare. ”
“ Lemma V. — Si figura quaelibet ABCD (fig. 132) in duas figuras
congruentes secta fuerit a linea BD, dummodo congruentium figurarum ae
637[Figure 637]
congruentes secta fuerit a linea BD, dummodo congruentium figurarum ae
637[Figure 637]Figura 132.
quales anguli sint ad easdem partes, et supposito
centro gravitatis semifigurae BAD, quod sit E: si
ex E ducatur EI perpendicularis ad BD, dico I esse
centrum gravitatis totius figurae ABCD. Producatur
enim EI, ita ut IO sit aequalis ipsi IE, eritque cen
trum reliquae semifigurae punctum O. Nam, super
positis figuris, puncta E et O congruent, cum rectae
IE, et OI perpendiculares sint ad BD, per constru
ctionem, et aequales inter se. Propterea centrum magnitudinis, ex utrisque ma
gnitudinibus compositae, erit punctum I, quod erat propositum demonstrare. ”
quales anguli sint ad easdem partes, et supposito
centro gravitatis semifigurae BAD, quod sit E: si
ex E ducatur EI perpendicularis ad BD, dico I esse
centrum gravitatis totius figurae ABCD. Producatur
enim EI, ita ut IO sit aequalis ipsi IE, eritque cen
trum reliquae semifigurae punctum O. Nam, super
positis figuris, puncta E et O congruent, cum rectae
IE, et OI perpendiculares sint ad BD, per constru
ctionem, et aequales inter se. Propterea centrum magnitudinis, ex utrisque ma
gnitudinibus compositae, erit punctum I, quod erat propositum demonstrare. ”