1gnato, si dette il Nostro, con trepidante sollecitudine, all'opera, la quale mo
strava di dover rendersi assai spedita, specialmente dop'essersi preparati al
cuni lemmi geometrici, conclusi dal teorema noto che cioè, rivolgendosi gli
archi EB, AB (fig. 152) intorno al diametro BD descrivono due callotte pro
porzionali ai quadrati delle suttese. Stando infatti le dette callotte, che chia
657[Figure 657]
strava di dover rendersi assai spedita, specialmente dop'essersi preparati al
cuni lemmi geometrici, conclusi dal teorema noto che cioè, rivolgendosi gli
archi EB, AB (fig. 152) intorno al diametro BD descrivono due callotte pro
porzionali ai quadrati delle suttese. Stando infatti le dette callotte, che chia
657[Figure 657]Figura 152.
meremo C, C′, in ragion composta delle altezze,
e della circonferenza di un circolo grande, o
del suo diametro, avremo C:C′=BF.BD:
BG.BD=EB2:AB2. Dietro ciò dimostrava il
Torricelli che “ se nella sfera ABCD siano ap
plicate utcumque EF, AG, sarà il berrettino
EBH, all'ABC, come BF alla BG. ”
meremo C, C′, in ragion composta delle altezze,
e della circonferenza di un circolo grande, o
del suo diametro, avremo C:C′=BF.BD:
BG.BD=EB2:AB2. Dietro ciò dimostrava il
Torricelli che “ se nella sfera ABCD siano ap
plicate utcumque EF, AG, sarà il berrettino
EBH, all'ABC, come BF alla BG. ”
“ Tirinsi ED, AD, EB, AB. Il quadrato EB
al BD sta come la retta BF alla BD. Ma il qua
drato BD al BA sta come la retta DB alla BG;
ergo ex aequo il quadrato EB al BA sta come
la retta BF alla BG. Ma come il quadrato BE
al BA, così l'un berrettino all'altro. Ergo etc. ” (ivi, T. XXXVI, fol. 32).
al BD sta come la retta BF alla BD. Ma il qua
drato BD al BA sta come la retta DB alla BG;
ergo ex aequo il quadrato EB al BA sta come
la retta BF alla BG. Ma come il quadrato BE
al BA, così l'un berrettino all'altro. Ergo etc. ” (ivi, T. XXXVI, fol. 32).
Di qui, cioè da ABC:EBH=BG:BF, dividendo, abbiamo ABC—EBH:
EBH=BG—BF:BF, ossia che la zona AEHC sta alla EBH come l'al
tezza FG di quella sta all'altezza FB di questa, e così per tutte le altre por
zioni intercette sulla sfera fra piani paralleli, le quali dunque saranno uguali,
quando siano le relative altezze fra loro uguali.
EBH=BG—BF:BF, ossia che la zona AEHC sta alla EBH come l'al
tezza FG di quella sta all'altezza FB di questa, e così per tutte le altre por
zioni intercette sulla sfera fra piani paralleli, le quali dunque saranno uguali,
quando siano le relative altezze fra loro uguali.
Se ora si prendano quelle altezze infinitamente piccole, ragionava il Tor
ricelli, le zonule infinite intercette essendo uguali graviteranno ugualmente
co'loro centri sopra la libbra BG, la quale per conseguenza avrà nel mezzo
il punto dell'equilibrio, ond'è che il baricentro della callotta, per esempio
ABC, taglierà nel mezzo la BG sua saetta. Così essendo, l'invenzione del
centro di gravità dell'emisfero era ovvia, perchè, se nella figura 151 qui poco
addietro, D è il mezzo di AG, l'altezza del cono è DA, la quale essendo di
visa, a partir dal vertice, in quattro parti uguali; in P, dove si dica tornar
la terza divisione, sarà il centro cercato. Che se anche GD similmente sia
quadripartito, è manifesto che GD conterrà cinque delle parti, delle quali PA
ne contiene tre sole. Se poi BGC sia minore di una mezza circonferenza, per
avere il centro di gravità del settore, basta divider nel mezzo, per esempio
in X, la saetta, la quale prolungata infino a incontrare in A il centro della
sfera, da A risalendo su per la AX per tre quarti della sua intera lunghezza,
ivi giunti troveremo il luogo, dove il settore stesso concentra il suo peso.
ricelli, le zonule infinite intercette essendo uguali graviteranno ugualmente
co'loro centri sopra la libbra BG, la quale per conseguenza avrà nel mezzo
il punto dell'equilibrio, ond'è che il baricentro della callotta, per esempio
ABC, taglierà nel mezzo la BG sua saetta. Così essendo, l'invenzione del
centro di gravità dell'emisfero era ovvia, perchè, se nella figura 151 qui poco
addietro, D è il mezzo di AG, l'altezza del cono è DA, la quale essendo di
visa, a partir dal vertice, in quattro parti uguali; in P, dove si dica tornar
la terza divisione, sarà il centro cercato. Che se anche GD similmente sia
quadripartito, è manifesto che GD conterrà cinque delle parti, delle quali PA
ne contiene tre sole. Se poi BGC sia minore di una mezza circonferenza, per
avere il centro di gravità del settore, basta divider nel mezzo, per esempio
in X, la saetta, la quale prolungata infino a incontrare in A il centro della
sfera, da A risalendo su per la AX per tre quarti della sua intera lunghezza,
ivi giunti troveremo il luogo, dove il settore stesso concentra il suo peso.
Così annunziate aveva il Torricelli distese le sue proposizioni, la verità
delle quali dipendendo tutta dalla verità del teorema che cioè le callotte hanno
il baricentro nel mezzo della saetta, ne dava, come di cosa nuova e impor
tantissima avviso al Cavalieri. Poi confermò questi autorevolmente nella
XXXIV della sua quinta Esercitazione geometrica il teorema torricelliano, ma
intanto rispondeva non saperne per ora altro, se non che il Guldino, nella
delle quali dipendendo tutta dalla verità del teorema che cioè le callotte hanno
il baricentro nel mezzo della saetta, ne dava, come di cosa nuova e impor
tantissima avviso al Cavalieri. Poi confermò questi autorevolmente nella
XXXIV della sua quinta Esercitazione geometrica il teorema torricelliano, ma
intanto rispondeva non saperne per ora altro, se non che il Guldino, nella