268 larū partiū ſubiecti: aut proportio illarū partiū ē
equalis ꝓportioni qusalitatū exemplū primi: vt ſi
in vna medietate pedalis ponat̄̄ albedo vt .4. et in
vna quarta albedo vt .5. / tunc ꝓportio partiū eſt ma
ior ꝓportiõe q̈litatū. Nam hec ē ſexq̇quīta illa
vero dupla. / exēmplū ſcḋi: vt ſi in vna medietate ſubie
cti ponat̄̄ albedo vt .2. et in quarta ponat̄̄ albedo vt
6. tunc ꝓportio q̈litatū excedit ꝓportionē ꝑtiū ſub
iecti. nã hec dupla illa vero tripla. exēmplū tertii / vt ſi
in vna medietate ponat̄̄ albedo vt .8. et in vna quar
ta albedo vt ſexdecim tunc eadē eſt ꝓportio illaruꝫ
partiū et etiã qualitatū: et tot modis poſſunt quali
tates variari ſi intenſior qualitas maiori ꝑti ſubie
cti inhereat remiſſior vero minori. adhibeas exem-
pla. Cõſummata diuiſione ponende ſunt aliq̄ pro-
poſitiões. 11porpõ. ¶ Prima propõ. Si qualitates eq̄ inten
ſe partibꝰ extendant̄̄ equalibꝰ: ip̄e equaliter totuꝫ
ſubiectum denoīant: ſi vero ꝑtibus ſubiecti ineq̈li-
bus inhereãt: tūc illa qualitas q̄ ꝑ maiorē ꝑtē extē-
ditur plus denoīat totū (deducto impedimēto) ī ea
ꝓportiõe in q̈ ſe habēt ille ꝑtes ſubiecti ad inuicem.
22.propõ. ¶ Scḋa propõ. Qñ inequales qualitates equalibꝰ
ꝑtibus ſubiecti inherent: tūc intēſior in ea ꝓportio
ne plus denoīat ſubiectū in qua eſt intēſior. 33propõ. ¶ Ter-
tia propõ. Si inequales qualitates intēſiue exten-
dant̄̄ ꝑ inequales partes vnius ſubiecti: et intenſior
maiori parti inhereat remiſſior vero minori: tunc
intenſior plꝰ denoīat totale ſubiectū ꝙ̄ remiſſior in
ꝓportiõe ↄ̨poſita ex ꝓportioni partis maioris ad
partem minorem: et qualitatis intenſioris ad qua-
litatem remiſſiorem. Exemplū / vt ſi in vna medieta
te pedalis ponatur albedo vt .4. et in 4. eiuſdē po-
natur albedo vt .2. Dico / albedo exiſtēs īmediate
in quadruplo plus denoīat illud pedale ꝙ̄ albedo
exiſtēs in quarta eiuſdē pedalis: q2 proportio illa-
rum qualitatū, et etiaꝫ partiū eſt dupla compoſita
vero ex duabus duplis quadrupla. 44.propõ ¶ Quarta pro
poſitio. Si intēſior qualitas parti extēdatur mīo-
ri: et remiſſior maiori: ſit equalis ꝓportio ꝑtium
ad inuicē et etiã intenſionū: tunc ille qualitates eq̈li
ter ad totius denoīationē faciūt. Exemplum / vt ſi ī
vna medietate ponat̄̄ qualitas vt .4. et in vna quar-
ta vt .8. q2 tunc inter partes et etiã qualitates ē pro
portio dupla tantū facit ad denoīationē totiꝰ qua
litas vt .8. in vna quarta: ̄tum qualitas vt .4. ī me
dietate: q2 vtra. vt .2. / vt pꝫ. 55.propõ. ¶ Quinta propõ. Si ī
tenſior qualitas parti coextēdat̄̄ mīori: et remiſſior
maiori: ꝓportio intenſionū illarū qualitatū par
tiū proportionē exuperat: tunc qualitas exiſtens in
minori parte ſubiecti totale ſubiectum intēſius de
noīabit ꝙ̄ qualitas exiſtēs in minori parte: in ea ꝓ
portiõe ꝑ quam ꝓportio intenſionū illarū qualita
tū ꝑtium ꝓportionē excedit. Exēplū / vt ſi in vna me-
dietate pedalis ponatur albedo vt .2. et in quarta
eiuſdē albedo vt .8. q2 ꝓportio ꝑtium dupla excedit̄̄
a ꝓportione intenſionū illarū qualitatū quadru-
pla: et quadrupla excedit duplã ꝑ duplã: ideo in du-
plo plus denoīat qualitas vt .8. ꝙ̄ vt .2. illud totale
ſubiectum. quia illa vt .2. denoīat vt vnū alia o vt
8. denoīat vt .2. / vt patēt. 666. propõ. ¶ Sexta ꝓpõ. Ubicū in-
tenſior qualitas parti ſubiecti minori inheret: et re
miſſior maiori: eſt inter partes maior ꝓportio ̄
inter illarū qualitatū intēſiones: et tūc qualitas re
miſſior plus facit ad totius denominationē ꝙ̄ intē
ſior in ea ꝓportione per quã proportio partium ꝓ
portionē intenſionum antecedit. Exemplum / vt ſi in
vna medietate ſit qualitas vt .4. et in vna quarta
ſit qualitas vt .6. quia qualitas intenſior minori
parti inheret: et proportio partium dupla excedit ꝓ
portionē intenſionū ſexq̇alterã per ſexquitertiam:
ideo qualitas vt .6. exiſtens in quarta in ſexq̇tertio
minus denominat totale ſubiectū ꝙ̄ qualitas vt .4.
exiſtens in mediate. Harum .6. ꝓpoſitionū demon-
ſtrationes inuenies in expõne ſcḋi capitis calcula-
toris: et facile ex his que dicta ſunt capite tertio ſe-
cundi tractatus: et primo capite tertii tractatus ꝓ-
bari valent mutatis mutandis. Quibus premiſſis
ponūtur concluſiones.
equalis ꝓportioni qusalitatū exemplū primi: vt ſi
in vna medietate pedalis ponat̄̄ albedo vt .4. et in
vna quarta albedo vt .5. / tunc ꝓportio partiū eſt ma
ior ꝓportiõe q̈litatū. Nam hec ē ſexq̇quīta illa
vero dupla. / exēmplū ſcḋi: vt ſi in vna medietate ſubie
cti ponat̄̄ albedo vt .2. et in quarta ponat̄̄ albedo vt
6. tunc ꝓportio q̈litatū excedit ꝓportionē ꝑtiū ſub
iecti. nã hec dupla illa vero tripla. exēmplū tertii / vt ſi
in vna medietate ponat̄̄ albedo vt .8. et in vna quar
ta albedo vt ſexdecim tunc eadē eſt ꝓportio illaruꝫ
partiū et etiã qualitatū: et tot modis poſſunt quali
tates variari ſi intenſior qualitas maiori ꝑti ſubie
cti inhereat remiſſior vero minori. adhibeas exem-
pla. Cõſummata diuiſione ponende ſunt aliq̄ pro-
poſitiões. 11porpõ. ¶ Prima propõ. Si qualitates eq̄ inten
ſe partibꝰ extendant̄̄ equalibꝰ: ip̄e equaliter totuꝫ
ſubiectum denoīant: ſi vero ꝑtibus ſubiecti ineq̈li-
bus inhereãt: tūc illa qualitas q̄ ꝑ maiorē ꝑtē extē-
ditur plus denoīat totū (deducto impedimēto) ī ea
ꝓportiõe in q̈ ſe habēt ille ꝑtes ſubiecti ad inuicem.
22.propõ. ¶ Scḋa propõ. Qñ inequales qualitates equalibꝰ
ꝑtibus ſubiecti inherent: tūc intēſior in ea ꝓportio
ne plus denoīat ſubiectū in qua eſt intēſior. 33propõ. ¶ Ter-
tia propõ. Si inequales qualitates intēſiue exten-
dant̄̄ ꝑ inequales partes vnius ſubiecti: et intenſior
maiori parti inhereat remiſſior vero minori: tunc
intenſior plꝰ denoīat totale ſubiectū ꝙ̄ remiſſior in
ꝓportiõe ↄ̨poſita ex ꝓportioni partis maioris ad
partem minorem: et qualitatis intenſioris ad qua-
litatem remiſſiorem. Exemplū / vt ſi in vna medieta
te pedalis ponatur albedo vt .4. et in 4. eiuſdē po-
natur albedo vt .2. Dico / albedo exiſtēs īmediate
in quadruplo plus denoīat illud pedale ꝙ̄ albedo
exiſtēs in quarta eiuſdē pedalis: q2 proportio illa-
rum qualitatū, et etiaꝫ partiū eſt dupla compoſita
vero ex duabus duplis quadrupla. 44.propõ ¶ Quarta pro
poſitio. Si intēſior qualitas parti extēdatur mīo-
ri: et remiſſior maiori: ſit equalis ꝓportio ꝑtium
ad inuicē et etiã intenſionū: tunc ille qualitates eq̈li
ter ad totius denoīationē faciūt. Exemplum / vt ſi ī
vna medietate ponat̄̄ qualitas vt .4. et in vna quar-
ta vt .8. q2 tunc inter partes et etiã qualitates ē pro
portio dupla tantū facit ad denoīationē totiꝰ qua
litas vt .8. in vna quarta: ̄tum qualitas vt .4. ī me
dietate: q2 vtra. vt .2. / vt pꝫ. 55.propõ. ¶ Quinta propõ. Si ī
tenſior qualitas parti coextēdat̄̄ mīori: et remiſſior
maiori: ꝓportio intenſionū illarū qualitatū par
tiū proportionē exuperat: tunc qualitas exiſtens in
minori parte ſubiecti totale ſubiectum intēſius de
noīabit ꝙ̄ qualitas exiſtēs in minori parte: in ea ꝓ
portiõe ꝑ quam ꝓportio intenſionū illarū qualita
tū ꝑtium ꝓportionē excedit. Exēplū / vt ſi in vna me-
dietate pedalis ponatur albedo vt .2. et in quarta
eiuſdē albedo vt .8. q2 ꝓportio ꝑtium dupla excedit̄̄
a ꝓportione intenſionū illarū qualitatū quadru-
pla: et quadrupla excedit duplã ꝑ duplã: ideo in du-
plo plus denoīat qualitas vt .8. ꝙ̄ vt .2. illud totale
ſubiectum. quia illa vt .2. denoīat vt vnū alia o vt
8. denoīat vt .2. / vt patēt. 666. propõ. ¶ Sexta ꝓpõ. Ubicū in-
tenſior qualitas parti ſubiecti minori inheret: et re
miſſior maiori: eſt inter partes maior ꝓportio ̄
inter illarū qualitatū intēſiones: et tūc qualitas re
miſſior plus facit ad totius denominationē ꝙ̄ intē
ſior in ea ꝓportione per quã proportio partium ꝓ
portionē intenſionum antecedit. Exemplum / vt ſi in
vna medietate ſit qualitas vt .4. et in vna quarta
ſit qualitas vt .6. quia qualitas intenſior minori
parti inheret: et proportio partium dupla excedit ꝓ
portionē intenſionū ſexq̇alterã per ſexquitertiam:
ideo qualitas vt .6. exiſtens in quarta in ſexq̇tertio
minus denominat totale ſubiectū ꝙ̄ qualitas vt .4.
exiſtens in mediate. Harum .6. ꝓpoſitionū demon-
ſtrationes inuenies in expõne ſcḋi capitis calcula-
toris: et facile ex his que dicta ſunt capite tertio ſe-
cundi tractatus: et primo capite tertii tractatus ꝓ-
bari valent mutatis mutandis. Quibus premiſſis
ponūtur concluſiones.
Prima concluſio
Diuiſo corpore qua
libuerit ꝓportione et prima pars ꝓportionalis eiꝰ
ſit aliqualiter intenſa et ſecunda in duplo plus et
tertia in triplo ꝙ̄ prima et quarta in quadruplo ̄
prima: et ſic ī infinitū. et hoc eadē qualitate ſiue ad
mixtione ↄ̈rii: tunc totū corpus eſt intenſius prima
prima parte ꝓportionali in ea ꝓportiõe qua ſe hꝫ
totū ſic diuiſuꝫ ad ṗmã ꝑtē eius ꝓportionalē. Pro
batur cõcluſio vĺr. et ſuppono / diuiſo aliquo cor-
pore ꝑ partes ꝓportionales aliqua ꝓportõe: et pri
mo ꝑ totū illud corpus extendat̄̄ aliqua qualitas:
et ꝑ totū reſiduū a ṗma parte ꝓportionali ſuꝑ illaꝫ
extendatur tanta: et ꝑ reſiduū a ṗma et a ſecūda ite
rum tanta extendat̄̄ ſupra p̄exñteꝫ: et deinde ſupra
reſiduū a prima ſcḋa et tertia extendatur iterū tan
ta ſupra preexñteꝫ: et ſic ↄ̨ñter: tunc in fine illud cor
pus ita ſe habebit prima ꝑs eius ꝓportionalis
erit aliqualiter intenſa: ſecūda in duplo plus: et ter
tia in triplo plus ꝙ̄ prima: et quarta ī quadruplo /
et ſic conſequenter vt ponitur in caſu concluſionis.
Patet hec ſuppoſitio: qm̄ ſi in prīa eſt aliquis gra
dus puta c. per ſcḋam et totū erūt reſiduū duo gra
dus puta c. per ſcḋam et totū erūt reſiduū duo gra
dus c. et per tertiam et totum tres tales gradus c. et
per quartam et totum reſiduū .4. tales: et ſic ↄ̨ñter:
igitur prima eſt aliqualiter intenſa: et ſecūda ī du
plo plus: et tertia in triplo plus ꝙ̄ ṗma: et ſic ↄ̨ñter
Quo poſito ꝓbatur concluſio. et ſit aliqḋ corpꝰ di
uiſum ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione f. et ſit g.
ꝓportio totiꝰ diuiſi ꝑ partes ꝓportionales ꝓpor-
tione f. ad primã eius partē ꝓportiõalē: et ṗma ꝑs
ꝓportionalis illius ſit aliquaĺr intēſa: et ſecūda in
duplo plus: et tertia in triplo plus ꝙ̄ ṗma: et ſic cõ-
ſequenter. Tūc dico / totum eſt intenſius ṗma ꝑte
ꝓportionali in ꝓportione g. q̄ eſt ꝓportio totiꝰ ad
primã partē ꝓportionalē. Quod ſic ꝓbatur: quia
per totuꝫ illud corpus extenditur aliqua qualitas
puta illa q̄ eſt in prima parte ꝓportionali: et per to
tum reſiduum a prima parte ꝓportionali iterum
tanta ſupra illam: et per totum reſidnum a prima
et ſecunda iterum tanta: et ſic conſequenter. vt patꝫ
ex ſuppoſitione: et illa qualitas que extenditur per
totum denominat aliqualiter tale corpus: et que ex
tenditur ꝑ totum reſiduum a prima parte ꝓportio
nali denominat in f. ꝓportione minus: et que exten
ditur per totum reſiduum a ṗma parte ꝓportiona-
li et ſecunda iterum denoīat in f. ꝓportiõe minus ̄
illa que extenditur per totum reſiduum a prima: et
ex iſtis denominationibus totius corporis denoīa
tio conſurgit: igit̄̄ illa denoīatio intēſiõis totiꝰ cor
poris cõponitur ex infinitis ꝑtialibꝰ denoīatiõibꝰ
ↄ̨tinuo ſe habētibus in ꝓportiõe f. / igit̄̄ tota illa de
noīatio cõpoſita ex illis infinitis ſe habet ad ṗmã
illarū in ꝓportiõe qua ſe habet aliquod totum di-
uiſum ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione f. ad pri-
mã eius ꝑtem ꝓportionalem: qm̄ illa totalis deno
minatio in tales partes proportionales ſecatur: et
illa eſt g. ex hypotheſi: ergo in ꝓportione g. totum
eſt intenſius ṗma ꝑte ꝓportionali / qḋ fuit ꝓbanduꝫ
libuerit ꝓportione et prima pars ꝓportionalis eiꝰ
ſit aliqualiter intenſa et ſecunda in duplo plus et
tertia in triplo ꝙ̄ prima et quarta in quadruplo ̄
prima: et ſic ī infinitū. et hoc eadē qualitate ſiue ad
mixtione ↄ̈rii: tunc totū corpus eſt intenſius prima
prima parte ꝓportionali in ea ꝓportiõe qua ſe hꝫ
totū ſic diuiſuꝫ ad ṗmã ꝑtē eius ꝓportionalē. Pro
batur cõcluſio vĺr. et ſuppono / diuiſo aliquo cor-
pore ꝑ partes ꝓportionales aliqua ꝓportõe: et pri
mo ꝑ totū illud corpus extendat̄̄ aliqua qualitas:
et ꝑ totū reſiduū a ṗma parte ꝓportionali ſuꝑ illaꝫ
extendatur tanta: et ꝑ reſiduū a ṗma et a ſecūda ite
rum tanta extendat̄̄ ſupra p̄exñteꝫ: et deinde ſupra
reſiduū a prima ſcḋa et tertia extendatur iterū tan
ta ſupra preexñteꝫ: et ſic ↄ̨ñter: tunc in fine illud cor
pus ita ſe habebit prima ꝑs eius ꝓportionalis
erit aliqualiter intenſa: ſecūda in duplo plus: et ter
tia in triplo plus ꝙ̄ prima: et quarta ī quadruplo /
et ſic conſequenter vt ponitur in caſu concluſionis.
Patet hec ſuppoſitio: qm̄ ſi in prīa eſt aliquis gra
dus puta c. per ſcḋam et totū erūt reſiduū duo gra
dus puta c. per ſcḋam et totū erūt reſiduū duo gra
dus c. et per tertiam et totum tres tales gradus c. et
per quartam et totum reſiduū .4. tales: et ſic ↄ̨ñter:
igitur prima eſt aliqualiter intenſa: et ſecūda ī du
plo plus: et tertia in triplo plus ꝙ̄ ṗma: et ſic ↄ̨ñter
Quo poſito ꝓbatur concluſio. et ſit aliqḋ corpꝰ di
uiſum ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione f. et ſit g.
ꝓportio totiꝰ diuiſi ꝑ partes ꝓportionales ꝓpor-
tione f. ad primã eius partē ꝓportiõalē: et ṗma ꝑs
ꝓportionalis illius ſit aliquaĺr intēſa: et ſecūda in
duplo plus: et tertia in triplo plus ꝙ̄ ṗma: et ſic cõ-
ſequenter. Tūc dico / totum eſt intenſius ṗma ꝑte
ꝓportionali in ꝓportione g. q̄ eſt ꝓportio totiꝰ ad
primã partē ꝓportionalē. Quod ſic ꝓbatur: quia
per totuꝫ illud corpus extenditur aliqua qualitas
puta illa q̄ eſt in prima parte ꝓportionali: et per to
tum reſiduum a prima parte ꝓportionali iterum
tanta ſupra illam: et per totum reſidnum a prima
et ſecunda iterum tanta: et ſic conſequenter. vt patꝫ
ex ſuppoſitione: et illa qualitas que extenditur per
totum denominat aliqualiter tale corpus: et que ex
tenditur ꝑ totum reſiduum a prima parte ꝓportio
nali denominat in f. ꝓportione minus: et que exten
ditur per totum reſiduum a ṗma parte ꝓportiona-
li et ſecunda iterum denoīat in f. ꝓportiõe minus ̄
illa que extenditur per totum reſiduum a prima: et
ex iſtis denominationibus totius corporis denoīa
tio conſurgit: igit̄̄ illa denoīatio intēſiõis totiꝰ cor
poris cõponitur ex infinitis ꝑtialibꝰ denoīatiõibꝰ
ↄ̨tinuo ſe habētibus in ꝓportiõe f. / igit̄̄ tota illa de
noīatio cõpoſita ex illis infinitis ſe habet ad ṗmã
illarū in ꝓportiõe qua ſe habet aliquod totum di-
uiſum ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione f. ad pri-
mã eius ꝑtem ꝓportionalem: qm̄ illa totalis deno
minatio in tales partes proportionales ſecatur: et
illa eſt g. ex hypotheſi: ergo in ꝓportione g. totum
eſt intenſius ṗma ꝑte ꝓportionali / qḋ fuit ꝓbanduꝫ