27084
THEOR. XXXIX. PROP. LXIV.
Portiones eiuſdem coni-ſectionis, vel circuli, aut etiam an-
guli rectilinei, quarum intercepta diametrorum ſegmenta in
Parabola ſint æqualia, vel in Hyperbola, aut in Ellipſi, vel
circulo, ad proprias ſemi- diametros eandem ſimul habeant ra-
tionem, vel in angulo pertingant ad eandem inſcriptam con-
centricam Hyperbolen, habent baſes altitudinibus reciprocè
proportionales.
guli rectilinei, quarum intercepta diametrorum ſegmenta in
Parabola ſint æqualia, vel in Hyperbola, aut in Ellipſi, vel
circulo, ad proprias ſemi- diametros eandem ſimul habeant ra-
tionem, vel in angulo pertingant ad eandem inſcriptam con-
centricam Hyperbolen, habent baſes altitudinibus reciprocè
proportionales.
NAm, quo ad primùm, reiterata inſpectione figurarum tertij Schemati-
ſmi pro propoſitione 40. huius; ibi in portionibus A B C, H E I, tùm
quandò, in Parabola, diametri B F, E G ſint æquales; tùm quandò, in
11Schema-
tiſmus 3. reliquis ſectionibus, ſit ſemi- diameter D B ad B F diametrum portionis A
B C, vt ſemi- diameter D E, ad E G diametrum portionis H E I, demon-
ſtratum ſuit, propè finem, baſim H I portionis H E I, ad baſim A C portio-
nis A B C, eſſe reciprocè, vt altitudo portionis A B C ad altitudinem por-
tionis H E I. Quod tanquam Coroll. Prop. 40. huius elici poterat. At cum
ibi tantùm loquatur de portionibus Ellipticis, quæ ſint ſemi- Ellipſi mino-
res, hoc idem verificari etiam de portionibus ſemi - Ellipſi maioribus, vel
etiam de ijſdem ſemi-Ellipſibus, ita demonſtrabitur.
ſmi pro propoſitione 40. huius; ibi in portionibus A B C, H E I, tùm
quandò, in Parabola, diametri B F, E G ſint æquales; tùm quandò, in
11Schema-
tiſmus 3. reliquis ſectionibus, ſit ſemi- diameter D B ad B F diametrum portionis A
B C, vt ſemi- diameter D E, ad E G diametrum portionis H E I, demon-
ſtratum ſuit, propè finem, baſim H I portionis H E I, ad baſim A C portio-
nis A B C, eſſe reciprocè, vt altitudo portionis A B C ad altitudinem por-
tionis H E I. Quod tanquam Coroll. Prop. 40. huius elici poterat. At cum
ibi tantùm loquatur de portionibus Ellipticis, quæ ſint ſemi- Ellipſi mino-
res, hoc idem verificari etiam de portionibus ſemi - Ellipſi maioribus, vel
etiam de ijſdem ſemi-Ellipſibus, ita demonſtrabitur.
Sint duæ portiones A B C, D E F de ea-
223[Figure 223]
dem Ellipſi, cuius centrum O;
vtraque ve-
rò ſit ſemi- Ellipſi maior, quarum diametri
G B, H E ad proprias ſemi - diametros B
O, E O ſint in eadem ratione. Dico, baſim
A C vnius, ad D F baſim alterius, eſſe vt
huius altitudo E M, ad illius altitudinem
B N.
rò ſit ſemi- Ellipſi maior, quarum diametri
G B, H E ad proprias ſemi - diametros B
O, E O ſint in eadem ratione. Dico, baſim
A C vnius, ad D F baſim alterius, eſſe vt
huius altitudo E M, ad illius altitudinem
B N.
Productis enim diametris B G, E H vſq;
ad Ellipſis peripheriam in punctis I, L, è
quibus ductis I P, L R, baſibus A C, D F
perpendicularibus, hæ erunt altitudines
portionum A I C, D L F, & reliquarum
portionum altitudinibus, B N, E M æqui-
diſtabunt.
ad Ellipſis peripheriam in punctis I, L, è
quibus ductis I P, L R, baſibus A C, D F
perpendicularibus, hæ erunt altitudines
portionum A I C, D L F, & reliquarum
portionum altitudinibus, B N, E M æqui-
diſtabunt.
Et cum, ex hypotheſi, ſit G B ad B O, vt H E ad E O, ſumptis conſe-
quentium duplis, conuertendo, & per conuerſionem rationis B I ad I G,
erit vt E L ad L H; & ſumptis antecedentium ſubduplis, O I ad I G, vt O
L ad L H: quare, per ſuperiùs oſtenſa, in portionibus A I C, D L F, ſemi-
Ellipſi minoribus, erit baſis A C ad D F, vt altitudo L R ad altitudinem
I P, fed L R ad I P eſt, vt E M ad B N, vt mox demonſtrabitur, ergo A
C ad D F erit quoque, vt E M ad B N.
quentium duplis, conuertendo, & per conuerſionem rationis B I ad I G,
erit vt E L ad L H; & ſumptis antecedentium ſubduplis, O I ad I G, vt O
L ad L H: quare, per ſuperiùs oſtenſa, in portionibus A I C, D L F, ſemi-
Ellipſi minoribus, erit baſis A C ad D F, vt altitudo L R ad altitudinem
I P, fed L R ad I P eſt, vt E M ad B N, vt mox demonſtrabitur, ergo A
C ad D F erit quoque, vt E M ad B N.
Quod autem ſit L R ad I P, vt E M ad B N.
Cum demonſtratum