270 minoris partis ad intēſionē maioris: g̊ cõtinuo tã-
tum denoīat vna ſicut altera. Ptꝫ ↄ̨ña ex q̈rta ꝓpõe
et cū ſint infinite totū denoīant infinite. Et ꝑ locū a
maiori ꝓbat̄̄ alia pars vcꝫ ſi cõtinuo īter partes
eſſet mīor ꝓportio ꝙ̄ inter intenſiones mīoris par
tis et maioris: intenſio totiꝰ corꝑis eſt infinita. qm̄
data vna denoīatione q̈ pars aliqua totū denoīat
q̄libet ſequēs plus denoīabit: et ſunt infinite: igitur
ꝓpoſitū. 111. correĺ. ¶ Ex hac cõcluſione ſeq̇tur primo / ꝑtito
aliquo corpore ꝓportiõe ſexq̇altera: et prima ſit ali
qualiter alba: et ſcḋa in duplo plus: et tertia in du-
plo pluſ̄ ſcḋa: et q̈rta ꝙ̄ tertia etc. totū corpꝰ eſt in
finite album. ¶ Sequit̄̄ ſcḋo / diuiſo corꝑe ꝓpor-
tione ſexq̇tertia et prīa pars ſit aliquaĺr alba: et ſe
cūda in ſexq̇altero plus: et tertia in ſexq̇altero plus
̄ ſcḋa: et ſic ↄ̨ñter: totū corpus ē infinite albū. Pa
tent correlaria ex concluſione.
tum denoīat vna ſicut altera. Ptꝫ ↄ̨ña ex q̈rta ꝓpõe
et cū ſint infinite totū denoīant infinite. Et ꝑ locū a
maiori ꝓbat̄̄ alia pars vcꝫ ſi cõtinuo īter partes
eſſet mīor ꝓportio ꝙ̄ inter intenſiones mīoris par
tis et maioris: intenſio totiꝰ corꝑis eſt infinita. qm̄
data vna denoīatione q̈ pars aliqua totū denoīat
q̄libet ſequēs plus denoīabit: et ſunt infinite: igitur
ꝓpoſitū. 111. correĺ. ¶ Ex hac cõcluſione ſeq̇tur primo / ꝑtito
aliquo corpore ꝓportiõe ſexq̇altera: et prima ſit ali
qualiter alba: et ſcḋa in duplo plus: et tertia in du-
plo pluſ̄ ſcḋa: et q̈rta ꝙ̄ tertia etc. totū corpꝰ eſt in
finite album. ¶ Sequit̄̄ ſcḋo / diuiſo corꝑe ꝓpor-
tione ſexq̇tertia et prīa pars ſit aliquaĺr alba: et ſe
cūda in ſexq̇altero plus: et tertia in ſexq̇altero plus
̄ ſcḋa: et ſic ↄ̨ñter: totū corpus ē infinite albū. Pa
tent correlaria ex concluſione.
Tertia concluſio.
Diuiſo aliquo cor-
pore qua volueris ꝓportiõe et in certa ꝓportione q̈-
libet pars p̄cedens ſit intenſior īmediate ſequenti:
totius intēſionis ad ītēſionē ſiue denoīationē qua
totū denoīabitur a qualitate ṗme partis ꝓportio-
nalis eſt illa ꝓportio qua ſe hꝫ totū diuiſuꝫ in pro
portione ↄ̨poſita ex ꝓportione partis ꝓportiona-
lis p̄cedētis ad īmediate ſequētē: et intēſiõis p̄cedē-
tis ad intēſionē īmediate ſequentis ad ṗmã eiꝰ par
tem ꝓportionalē. Ut ſi aliqḋ corpus diuidat̄̄ ꝑ par
tes ꝓportionales ꝓportiõe dupla: et ↄ̨tinuo intēſio
nis partis p̄cedentis ad intēſionē partis īmediate
ſequentis ſit proportio ſexq̇altera. et ex dupla et ſex
quialtera cõiunctis cõſurgit tripla: ſi denomīatio
qua prima pars denoīat totum ſit vt .2. totū erit vt
3. intenſum: qm̄ totum diuiſuꝫ ꝓportiõe tripla ē ſex
quialterū ad primã partē ꝓportionalē / vt pꝫ ex pri
mo correlario ſcḋe ↄ̨°nis q̇nti capitis prīe partis.
Hec concluſio cū multis ſiĺibus facile ꝓbat̄̄ ex his /
que dicta ſunt tertio capite ſcḋi tractatus mutatis
mutãdis. 221. correĺ. ¶ Ex quo ſequit̄̄ primo / diuiſo corpore
per partes ꝓportionales ꝓportione dupla: et prīa
pars ꝓportionalis ꝑ ſui medietatē habet vnū gra
dū albedinis: reliqua medietate priuata albedine
et nigredine: et ſcḋa pars ꝓportionalis habeat per
ſui quartã mediū gradū albedinis reliqua nec al-
ba exiſtente ne nigra: et tertia pars ꝓportionalis
per ſui octauã habeat vnã q̈rtã vniꝰ gradus albe-
dinis etc̃. / et ſic in īfinitū: totiꝰ intēſiõis ad denoīatio
nē qua totū denoīat̄̄ a q̈litate prime partis ꝓpor-
tionalis ē ꝓportio qua ſe hꝫ totū diuiſum ꝓportio
ne quadrupla ad primã ſui partē ꝓportionalē q̄ eſt
ſexquitertia: et totum erit intenſum vt vna tertia.
332. correĺ.
pore qua volueris ꝓportiõe et in certa ꝓportione q̈-
libet pars p̄cedens ſit intenſior īmediate ſequenti:
totius intēſionis ad ītēſionē ſiue denoīationē qua
totū denoīabitur a qualitate ṗme partis ꝓportio-
nalis eſt illa ꝓportio qua ſe hꝫ totū diuiſuꝫ in pro
portione ↄ̨poſita ex ꝓportione partis ꝓportiona-
lis p̄cedētis ad īmediate ſequētē: et intēſiõis p̄cedē-
tis ad intēſionē īmediate ſequentis ad ṗmã eiꝰ par
tem ꝓportionalē. Ut ſi aliqḋ corpus diuidat̄̄ ꝑ par
tes ꝓportionales ꝓportiõe dupla: et ↄ̨tinuo intēſio
nis partis p̄cedentis ad intēſionē partis īmediate
ſequentis ſit proportio ſexq̇altera. et ex dupla et ſex
quialtera cõiunctis cõſurgit tripla: ſi denomīatio
qua prima pars denoīat totum ſit vt .2. totū erit vt
3. intenſum: qm̄ totum diuiſuꝫ ꝓportiõe tripla ē ſex
quialterū ad primã partē ꝓportionalē / vt pꝫ ex pri
mo correlario ſcḋe ↄ̨°nis q̇nti capitis prīe partis.
Hec concluſio cū multis ſiĺibus facile ꝓbat̄̄ ex his /
que dicta ſunt tertio capite ſcḋi tractatus mutatis
mutãdis. 221. correĺ. ¶ Ex quo ſequit̄̄ primo / diuiſo corpore
per partes ꝓportionales ꝓportione dupla: et prīa
pars ꝓportionalis ꝑ ſui medietatē habet vnū gra
dū albedinis: reliqua medietate priuata albedine
et nigredine: et ſcḋa pars ꝓportionalis habeat per
ſui quartã mediū gradū albedinis reliqua nec al-
ba exiſtente ne nigra: et tertia pars ꝓportionalis
per ſui octauã habeat vnã q̈rtã vniꝰ gradus albe-
dinis etc̃. / et ſic in īfinitū: totiꝰ intēſiõis ad denoīatio
nē qua totū denoīat̄̄ a q̈litate prime partis ꝓpor-
tionalis ē ꝓportio qua ſe hꝫ totū diuiſum ꝓportio
ne quadrupla ad primã ſui partē ꝓportionalē q̄ eſt
ſexquitertia: et totum erit intenſum vt vna tertia.
¶ Seq̇tur ſcḋo / diuiſo corpore per partes ꝓpor-
tionales proportiõe quadrupla: et ꝑ vnã quartam
prime partis proportionalis extēdat̄̄ aliqua albe-
do: reſiduo eiuſdē prime partis nec albedo exñte nec
nigro: et per vnã ſextaꝫ ſecūde partis ꝓportionalis
extendat̄̄ albedo in quadruplo mīor reliquis ſextꝪ
nõ exñtibus albis vel nigris: et per vnã nonã tertie
partis ꝓportionalis ponat̄̄ iterū albedo in q̈dru-
plo minor quã in ſexta partis precedentis reſiduo
nec albo nec nigro et per vnã decimã octauã q̈rte ꝑtꝪ
ꝓportionalis extēdat̄̄ iterū albedo ī q̈druplo mīor
̄ ī nona ꝑtꝪ īmediate p̄cedētꝪ, et ſic ↄ̨ñter / ita cõti
nuo ꝑtes ꝑ q̈s extēdit̄̄ albedo ſe hēant ī ꝓportõe ſex
tupla: tūc totiꝰ intēſiõis ad denoīationē q̈ totū de-
noīat̄̄ ab q̈litate exñte ī q̈rta prīe partꝪ ꝓportiona-
lis eſt ꝓportio ſexq̇viceſima ṫtia q̈lis eſt .24. ad .23.
Patēt hec correlaria ex ↄ̨°ne iuuãtibꝰ his q̄ dcã ſūt
in prima et ſcḋa partibꝰ huius operis. ¶ Infinita
talia correlaria poteris inferre.
tionales proportiõe quadrupla: et ꝑ vnã quartam
prime partis proportionalis extēdat̄̄ aliqua albe-
do: reſiduo eiuſdē prime partis nec albedo exñte nec
nigro: et per vnã ſextaꝫ ſecūde partis ꝓportionalis
extendat̄̄ albedo in quadruplo mīor reliquis ſextꝪ
nõ exñtibus albis vel nigris: et per vnã nonã tertie
partis ꝓportionalis ponat̄̄ iterū albedo in q̈dru-
plo minor quã in ſexta partis precedentis reſiduo
nec albo nec nigro et per vnã decimã octauã q̈rte ꝑtꝪ
ꝓportionalis extēdat̄̄ iterū albedo ī q̈druplo mīor
̄ ī nona ꝑtꝪ īmediate p̄cedētꝪ, et ſic ↄ̨ñter / ita cõti
nuo ꝑtes ꝑ q̈s extēdit̄̄ albedo ſe hēant ī ꝓportõe ſex
tupla: tūc totiꝰ intēſiõis ad denoīationē q̈ totū de-
noīat̄̄ ab q̈litate exñte ī q̈rta prīe partꝪ ꝓportiona-
lis eſt ꝓportio ſexq̇viceſima ṫtia q̈lis eſt .24. ad .23.
Patēt hec correlaria ex ↄ̨°ne iuuãtibꝰ his q̄ dcã ſūt
in prima et ſcḋa partibꝰ huius operis. ¶ Infinita
talia correlaria poteris inferre.
Quarta cõcluſio.
diuiſo corpore ꝑ par
tes ꝓportionales aliqua ꝓportiõe multiplici: aut
aliqua maiori ſuꝑparticulari ꝓportiõe: et ī prīa ꝑ-
te ꝓportionali ſit aliquãtula albedo ꝑ totū: et in ſe
cūda ī ſexq̇altero intēſior: et in ṫtia ī ſexq̇tertio intē-
ſior ꝙ̄ in prīa: et in q̈rta in ſexq̇quarto intēſior ꝙ̄ in
prīa: et ſic ↄ̨ñter ꝓcedēdo ꝑ ſpēs ꝓportiõis ſuꝑpar
ticularis: totiꝰ corporis intēſio cēſenda eſt incõmē-
ſurabilis intēſiõi prīe partis ꝓportionalis et deno
minatiõi qua ip̄a qualitas exñs ī prīa ꝑte ꝓportio
nali totū denoīat: vel ſaltē ſi incõmēſurabilis eſt a
nobis ꝓ flatu iſto finitã capacitatē hñtibꝰ nequā
cõmēſurari p̄t. Probat̄̄ / qm̄ ille intēſiones cõtinuo
ſe hñt in alia et alia ꝓportiõe: et nõ eſt poſſibile oēs
tales ꝓportiões mēſurari ab ītelectu finito nec in-
ter illas intēſiones põt cõtinuo eadē et eadē propor
tio inueniri: igr̄ in tali caſu intenſio totiꝰ corꝑis cē
ſenda eſt incõmēſurabilis intēſioni prime partis ꝓ
portionalis etc. ¶ Ex hac ↄ̨cluſiõe ſeq̇tur / ſi aliqḋ
corpus diuidat̄̄ per partes ꝓportionales propor-
tione dupla, et prīa ſit aliqualiter alba: et ſcḋa ī ſex
q̇tertio plꝰ: et tertia ī ſexq̇quīto plus ꝙ̄ prīa: et q̈rta
in ſexquiſeptimo plus ꝙ̄ prīa: et ſic ↄ̨ñter ꝓcedendo
ꝑ ſpēs ꝓportõis ſuꝑparticularis denoīatas a nūe
ris īparibꝰ: totiꝰ intēſio cēſenda ē irrõnalis ad in
tenſionē prime partis. Siĺr ſi diuiſo corpore ꝓpor
tiõe quadrupla: et prīa ꝑs ꝓportiõalis ſit aliq̈liter
alba: et ſcḋa ī ſupratriꝑtiēte q̈rtas plꝰ: et ṫtia in ſu
pratriꝑtiēte octauas ītēſior ꝙ̄ prīa, et q̈rta ī ſupra
triꝑtiēte decīas ſextas intēſior ꝙ̄ prīa: et ſic ↄ̨ñter ꝓ-
cedēdo ꝑ ſpēs proportiõis ſupratriꝑtiētis denoīa
tas a nūeris pari ꝑibꝰ: totiꝰ intēſio incõmēſurabi
lis eſt intēſioni prime partis ꝓportionalis. Et iſto
modo multa ſimilia inferes prima et ſecunda par-
tibus intellectis.
tes ꝓportionales aliqua ꝓportiõe multiplici: aut
aliqua maiori ſuꝑparticulari ꝓportiõe: et ī prīa ꝑ-
te ꝓportionali ſit aliquãtula albedo ꝑ totū: et in ſe
cūda ī ſexq̇altero intēſior: et in ṫtia ī ſexq̇tertio intē-
ſior ꝙ̄ in prīa: et in q̈rta in ſexq̇quarto intēſior ꝙ̄ in
prīa: et ſic ↄ̨ñter ꝓcedēdo ꝑ ſpēs ꝓportiõis ſuꝑpar
ticularis: totiꝰ corporis intēſio cēſenda eſt incõmē-
ſurabilis intēſiõi prīe partis ꝓportionalis et deno
minatiõi qua ip̄a qualitas exñs ī prīa ꝑte ꝓportio
nali totū denoīat: vel ſaltē ſi incõmēſurabilis eſt a
nobis ꝓ flatu iſto finitã capacitatē hñtibꝰ nequā
cõmēſurari p̄t. Probat̄̄ / qm̄ ille intēſiones cõtinuo
ſe hñt in alia et alia ꝓportiõe: et nõ eſt poſſibile oēs
tales ꝓportiões mēſurari ab ītelectu finito nec in-
ter illas intēſiones põt cõtinuo eadē et eadē propor
tio inueniri: igr̄ in tali caſu intenſio totiꝰ corꝑis cē
ſenda eſt incõmēſurabilis intēſioni prime partis ꝓ
portionalis etc. ¶ Ex hac ↄ̨cluſiõe ſeq̇tur / ſi aliqḋ
corpus diuidat̄̄ per partes ꝓportionales propor-
tione dupla, et prīa ſit aliqualiter alba: et ſcḋa ī ſex
q̇tertio plꝰ: et tertia ī ſexq̇quīto plus ꝙ̄ prīa: et q̈rta
in ſexquiſeptimo plus ꝙ̄ prīa: et ſic ↄ̨ñter ꝓcedendo
ꝑ ſpēs ꝓportõis ſuꝑparticularis denoīatas a nūe
ris īparibꝰ: totiꝰ intēſio cēſenda ē irrõnalis ad in
tenſionē prime partis. Siĺr ſi diuiſo corpore ꝓpor
tiõe quadrupla: et prīa ꝑs ꝓportiõalis ſit aliq̈liter
alba: et ſcḋa ī ſupratriꝑtiēte q̈rtas plꝰ: et ṫtia in ſu
pratriꝑtiēte octauas ītēſior ꝙ̄ prīa, et q̈rta ī ſupra
triꝑtiēte decīas ſextas intēſior ꝙ̄ prīa: et ſic ↄ̨ñter ꝓ-
cedēdo ꝑ ſpēs proportiõis ſupratriꝑtiētis denoīa
tas a nūeris pari ꝑibꝰ: totiꝰ intēſio incõmēſurabi
lis eſt intēſioni prime partis ꝓportionalis. Et iſto
modo multa ſimilia inferes prima et ſecunda par-
tibus intellectis.
Quinta cõcluſio.
Diuiſo corpore per
partes proportionales ꝓportiõe irrationali et pri
ma pars proportiõalis ſit aliquaĺr calida: et ſcḋa
in duplo plꝰ, et ṫtia in triplo ꝙ̄ prīa: et ſic ↄ̨ñter / vt
ponit̄̄ in prīa ↄ̨°ne: totiꝰ intēſio ē incõmēſurabilis
intēſioni prīe partis ꝓportionalis. Probat̄̄ / q̊niaꝫ
tota intēſio ſe hꝫ ad intēſionē prīe partis ꝓportio
nalis in ea ꝓportiõe qua ſe hꝫ totū diuiſuꝫ illa pro
portiõe irrõnali ad primã eiꝰ partē ꝓportionalē / vt
pꝫ ex prīa ↄ̨°ne: ſꝫ talis eſt irrõnalis: igr̄ ↄ̨cluſio a
441. correĺ. ¶ Ex quo ſequitur primo: diuiſo corpore ꝑ par-
tes proportionales ꝓportiõe irrõnali diametri ad
coſtã que eſt medietas duple: et ī prima ꝑte propor
tionali ponatur aliqua albedo: et in ſcḋa ī ſexq̇ter-
tio maior: et in ṫtia in ſeq̇tertio maior ꝙ̄ ī ſcḋa: et ſic
ↄ̨ñter: totius intēſiõis ad denoīationē qua totū de
noīabit̄̄ ab albedine prīe et ſcḋe partis proportio-
nalis eſt illa proportio: qua ſe hꝫ totum diuiſum
in proportione ſexq̇octaua qualis eſt .18. ad .16 ad
primã ſui ꝑtē ꝓportiõalē. pꝫ hoc correlariū ex mõ
probãdi ↄ̨°nē. hoc addito: cū corpus diuidit̄̄ pro
portione irrationali q̄ eſt medietas duple: partes ī
pares et ſiĺr pares ↄ̨tinuo ſe hñt in proportiõe du-
pla. qḋ pꝫ ex ſcḋo correlario ſcḋe ↄ̨°nis ſexti capitꝪ
prīe ꝑtꝪ: et in cãu correlarii ītēſiões ꝑtiū pariū et
ſiĺr īpariū ↄ̨tinuo ſe hñt ī ꝓportiõe ſupraſeptiꝑtiē
te nonas qḋ claret: cū ītēſiõis partꝪ parꝪ ad ītēſiõeꝫ
īparis īmediate p̄cedētꝪ ſit ꝓportio ſexq̇tertia ex ca
ſu. 552. correĺ. ¶ Seq̇t̄̄ .2. / diuiſo corpore per partes propor-
tionales proportiõe irrationali eſt medietas tri-
ple: et in prīa parte proportionali ponatur aliqua
albedo: et in ſecunda in duplo minor: et in tertia in
partes proportionales ꝓportiõe irrationali et pri
ma pars proportiõalis ſit aliquaĺr calida: et ſcḋa
in duplo plꝰ, et ṫtia in triplo ꝙ̄ prīa: et ſic ↄ̨ñter / vt
ponit̄̄ in prīa ↄ̨°ne: totiꝰ intēſio ē incõmēſurabilis
intēſioni prīe partis ꝓportionalis. Probat̄̄ / q̊niaꝫ
tota intēſio ſe hꝫ ad intēſionē prīe partis ꝓportio
nalis in ea ꝓportiõe qua ſe hꝫ totū diuiſuꝫ illa pro
portiõe irrõnali ad primã eiꝰ partē ꝓportionalē / vt
pꝫ ex prīa ↄ̨°ne: ſꝫ talis eſt irrõnalis: igr̄ ↄ̨cluſio a
441. correĺ. ¶ Ex quo ſequitur primo: diuiſo corpore ꝑ par-
tes proportionales ꝓportiõe irrõnali diametri ad
coſtã que eſt medietas duple: et ī prima ꝑte propor
tionali ponatur aliqua albedo: et in ſcḋa ī ſexq̇ter-
tio maior: et in ṫtia in ſeq̇tertio maior ꝙ̄ ī ſcḋa: et ſic
ↄ̨ñter: totius intēſiõis ad denoīationē qua totū de
noīabit̄̄ ab albedine prīe et ſcḋe partis proportio-
nalis eſt illa proportio: qua ſe hꝫ totum diuiſum
in proportione ſexq̇octaua qualis eſt .18. ad .16 ad
primã ſui ꝑtē ꝓportiõalē. pꝫ hoc correlariū ex mõ
probãdi ↄ̨°nē. hoc addito: cū corpus diuidit̄̄ pro
portione irrationali q̄ eſt medietas duple: partes ī
pares et ſiĺr pares ↄ̨tinuo ſe hñt in proportiõe du-
pla. qḋ pꝫ ex ſcḋo correlario ſcḋe ↄ̨°nis ſexti capitꝪ
prīe ꝑtꝪ: et in cãu correlarii ītēſiões ꝑtiū pariū et
ſiĺr īpariū ↄ̨tinuo ſe hñt ī ꝓportiõe ſupraſeptiꝑtiē
te nonas qḋ claret: cū ītēſiõis partꝪ parꝪ ad ītēſiõeꝫ
īparis īmediate p̄cedētꝪ ſit ꝓportio ſexq̇tertia ex ca
ſu. 552. correĺ. ¶ Seq̇t̄̄ .2. / diuiſo corpore per partes propor-
tionales proportiõe irrationali eſt medietas tri-
ple: et in prīa parte proportionali ponatur aliqua
albedo: et in ſecunda in duplo minor: et in tertia in