Si voleva dunque da esso Torricelli anche in ciò superare il Valerio,
che, nel suo secondo libro De centro gravitatis, aveva distinte sei proposi
zioni, per dimostrare il centro di gravità delle porzioni sferiche, secondo che
il centro della figura intera riman dentro o fuori dell'asse, e secondo che
esso asse tocca con ambedue le estremità i piani secanti, o ne tocca uno
solo, perchè l'altro svanisce; comprendendo tutte queste verità in una pro
posizione universalissima, a condur la quale riuscì esso Torricelli felicemente,
supposte le cose, per le due precedenti già dimo
688[Figure 688]
che, nel suo secondo libro De centro gravitatis, aveva distinte sei proposi
zioni, per dimostrare il centro di gravità delle porzioni sferiche, secondo che
il centro della figura intera riman dentro o fuori dell'asse, e secondo che
esso asse tocca con ambedue le estremità i piani secanti, o ne tocca uno
solo, perchè l'altro svanisce; comprendendo tutte queste verità in una pro
posizione universalissima, a condur la quale riuscì esso Torricelli felicemente,
supposte le cose, per le due precedenti già dimo
688[Figure 688]Figura 183.
strate, aggiuntovi quest'altro lemma, che dice:
“ Se sarà un cilindro ed un cono intorno al me
desimo asse, il cilindro al cono sta come tre
quadrati AB (fig. 183) al quadrato AC. Poichè il
cilindro BE al cilindro CD sta come il quadrato
AB al quadrato AC, sumptisque consequentium
triplis, il cilindro BE al cono sta come il quadrato AB ad un terzo di AC,
ovvero come tre quadrati AB al quadrato AC ” (ivi, T. XXXVI, fol. 53).
strate, aggiuntovi quest'altro lemma, che dice:
“ Se sarà un cilindro ed un cono intorno al me
desimo asse, il cilindro al cono sta come tre
quadrati AB (fig. 183) al quadrato AC. Poichè il
cilindro BE al cilindro CD sta come il quadrato
AB al quadrato AC, sumptisque consequentium
triplis, il cilindro BE al cono sta come il quadrato AB ad un terzo di AC,
ovvero come tre quadrati AB al quadrato AC ” (ivi, T. XXXVI, fol. 53).
Ecco ora come, preparate queste cose, si dia dal Torricelli, con regola
universalissima, l'invenzione del centro di gravità delle porzioni, comunque
sian segate nella sfera:
universalissima, l'invenzione del centro di gravità delle porzioni, comunque
sian segate nella sfera:
“ PROPOSIZIONE XXXII. — Esto frustum sphaericum planis parallelis
AD, BC (fig. 184) abscissum, axis EF. Dico centrum gravitatis ita secare
EF, ut pars ad E terminata sit ad reliquam, ut quadratum BC, cum
689[Figure 689]
AD, BC (fig. 184) abscissum, axis EF. Dico centrum gravitatis ita secare
EF, ut pars ad E terminata sit ad reliquam, ut quadratum BC, cum
689[Figure 689]“ Fiat segmentum sphaericum GHEIL
concentricum et aeque altum cum frusto, in
scribaturque conus GEL, et, secto axe bifa
riam in M, applicetur HMI. Demonstratum est
solidum sphaericum excavatum GHEBA ae
quari cylindro, cuius basis sit circulus BC, altitudo vero EF; sive cono, cuius
basis sit tripla circuli BC, altitudo vero EF. Ergo solidum GHEBA, ad conum
GEL, est ut triplum quadrati EB ad quadratum FG. Solidum vero excavatum,
factum a bilineo GHE, ad conum eumdem GEL, demonstratum est esse ut
duo rectangula GNE ad quadratum FG. Ergo, per XXIV Quinti, totum simul
solidum ABENG, ad conum GEL, erit ut tria quadrata BE, cum duobus
rectangulis GNE, ad quadratum GF, sive, sumptis duplis, ut sex quadrata
BE, cum quadrato GE, ad duo quadrata GF. ”
concentricum et aeque altum cum frusto, in
scribaturque conus GEL, et, secto axe bifa
riam in M, applicetur HMI. Demonstratum est
solidum sphaericum excavatum GHEBA ae
quari cylindro, cuius basis sit circulus BC, altitudo vero EF; sive cono, cuius
basis sit tripla circuli BC, altitudo vero EF. Ergo solidum GHEBA, ad conum
GEL, est ut triplum quadrati EB ad quadratum FG. Solidum vero excavatum,
factum a bilineo GHE, ad conum eumdem GEL, demonstratum est esse ut
duo rectangula GNE ad quadratum FG. Ergo, per XXIV Quinti, totum simul
solidum ABENG, ad conum GEL, erit ut tria quadrata BE, cum duobus
rectangulis GNE, ad quadratum GF, sive, sumptis duplis, ut sex quadrata
BE, cum quadrato GE, ad duo quadrata GF. ”
“ Secetur FM bifariam in P: eritque P centrum coni GEL, et est idem
centrum tam solidi GHEBA, quam etiam solidi GHE, propterea M erit cen
trum totius solidi ABENG. Fiat ergo ut sex quadrata BE, cum quadrato GE,
ad duo quadrata FG, ita reciproce recta PO ad OM, et erit O centrum gra
vitatis totius frusti sphaerici. ”
centrum tam solidi GHEBA, quam etiam solidi GHE, propterea M erit cen
trum totius solidi ABENG. Fiat ergo ut sex quadrata BE, cum quadrato GE,
ad duo quadrata FG, ita reciproce recta PO ad OM, et erit O centrum gra
vitatis totius frusti sphaerici. ”
“ Iam argumenta sunt componendo, duplicando antecedentia, per con-