271241LIBER SEXTVS.
Quoniam enim triangulum B C F, ad triangulum D E F, duplicatam 1119. ſexti.
portionem habet lateris B F, ad latus D F, hoc eſt, rectæ L M, ad rectam O:
Habet autem & L M, ad M N, duplicatam proportionem eius, quam habet
L M, ad O, quod L M, O, M N, ſint continuè proportionales. Igitur erit vt
triangulum B C F, ad triangulum D E F, ita L M, ad M N; Et per conuerſio-
nem rationis, vt triangulum B C F, ad Trapezium B E, ita L M, ad L N.
Cum ergo ſit, vt LM, ad LN, ita quadratum K, ad quadratum G, quod 22coroll. 2@.
ſexti. H I, L N, continuè ſint proportionales, erit quo que vt triangulum B C F, ad
trapezium B E, ita quadratum K, ad quadratum G, hoc eſt, ita triangulum
BCF, quod ipſi K, æquale eſt, ad rectilineum A, ipſi G, æquale. Quo circa cum
triangulum B C F, ad trapezium B E, & ad rectilineum A, eandem habeat pro-
portionem; æqualia erunt trapezium BE, & rectilineum A, quod eſt 339. quinti.ſitum.
Habet autem & L M, ad M N, duplicatam proportionem eius, quam habet
L M, ad O, quod L M, O, M N, ſint continuè proportionales. Igitur erit vt
triangulum B C F, ad triangulum D E F, ita L M, ad M N; Et per conuerſio-
nem rationis, vt triangulum B C F, ad Trapezium B E, ita L M, ad L N.
Cum ergo ſit, vt LM, ad LN, ita quadratum K, ad quadratum G, quod 22coroll. 2@.
ſexti. H I, L N, continuè ſint proportionales, erit quo que vt triangulum B C F, ad
trapezium B E, ita quadratum K, ad quadratum G, hoc eſt, ita triangulum
BCF, quod ipſi K, æquale eſt, ad rectilineum A, ipſi G, æquale. Quo circa cum
triangulum B C F, ad trapezium B E, & ad rectilineum A, eandem habeat pro-
portionem; æqualia erunt trapezium BE, & rectilineum A, quod eſt 339. quinti.ſitum.
4.
Sit deinde ſuper B C, verſus R, S, vbianguli R B C, SCB, duobus re-
ctis ſunt maiores, non autem verſus punctum concurſus F, conſtruendum trape-
zium rectilineo A, cuiuſcunque magnitudinis ſit, æquale, habens latus oppo-
ſitum rectæ B C, parallelum. Fiat rurſus triangulo B C F, æquale 4414. ſecundi. tum K, cuius latus L M; & rectilineo A, aliud quadratum G, æquale, cuius
latus HI, per ea, quæ ad propoſitionem 14. lib. 2. Euclìd. vel potius per ea, quæ
Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius docuimus. Dein de lateribus L M, HI, inueniatur
tertia proportionalis MP, quæ ipſi LM, in continuum & directum ſit poſi-
ta: at que inter totam L P, & L M, reperta ſit media proportionalis Q: ac
poſtremo, vt Q, ad L P, ita fiat FB, ad F R: ipſique BC, parallela agatur R S.
Dico trapezium B S, rectilineo A, eſſe æquale. Quoniam enim 5519. ſexti. BCF, ad triangulum R S F, proportionem habet duplicatam lateris F B, ad
latus F R, hoc eſt, proportionis Q, ad L P; Eſt autem & proportio L M, ad
L P, duplicata proportionis L M, ad Q, vel Q, ad L P, quod tres rectæ L M,
Q, L P, ſint continuè proportionales. Igitur erit vt triangulum B C F, ad
triangulum R S F, ita L M, ad L P; ideo que etiam per diuiſionem rationis con-
trariam in ſcholio propoſ. 17. libr. 5. Euclid. à nobis demonſtratam, vt trian-
gulum BCF, ad trapezium BS, ita L M, ad M P. Vtautem L M, ad M P, 66coroll. 2@.
ſexti. eſt quadratum K, ad quadratum G, quod tres L M, H I, M P, ſint continuè
proportionales. Igitur erit quoque, vt triangulum B C F, ad trapezium B S,
ita quadratum K, ad quadratum G. Cum ergo triangulo B C F, conſtructum
ſit æquale quadratum K: erit quoque trapezium B S, quadrato G, 7714. quinti. hoc eſt, rectilineo A, cui quadratum G, conſtructum eſt æquale. quod eſt pro-
poſitum.
ctis ſunt maiores, non autem verſus punctum concurſus F, conſtruendum trape-
zium rectilineo A, cuiuſcunque magnitudinis ſit, æquale, habens latus oppo-
ſitum rectæ B C, parallelum. Fiat rurſus triangulo B C F, æquale 4414. ſecundi. tum K, cuius latus L M; & rectilineo A, aliud quadratum G, æquale, cuius
latus HI, per ea, quæ ad propoſitionem 14. lib. 2. Euclìd. vel potius per ea, quæ
Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius docuimus. Dein de lateribus L M, HI, inueniatur
tertia proportionalis MP, quæ ipſi LM, in continuum & directum ſit poſi-
ta: at que inter totam L P, & L M, reperta ſit media proportionalis Q: ac
poſtremo, vt Q, ad L P, ita fiat FB, ad F R: ipſique BC, parallela agatur R S.
Dico trapezium B S, rectilineo A, eſſe æquale. Quoniam enim 5519. ſexti. BCF, ad triangulum R S F, proportionem habet duplicatam lateris F B, ad
latus F R, hoc eſt, proportionis Q, ad L P; Eſt autem & proportio L M, ad
L P, duplicata proportionis L M, ad Q, vel Q, ad L P, quod tres rectæ L M,
Q, L P, ſint continuè proportionales. Igitur erit vt triangulum B C F, ad
triangulum R S F, ita L M, ad L P; ideo que etiam per diuiſionem rationis con-
trariam in ſcholio propoſ. 17. libr. 5. Euclid. à nobis demonſtratam, vt trian-
gulum BCF, ad trapezium BS, ita L M, ad M P. Vtautem L M, ad M P, 66coroll. 2@.
ſexti. eſt quadratum K, ad quadratum G, quod tres L M, H I, M P, ſint continuè
proportionales. Igitur erit quoque, vt triangulum B C F, ad trapezium B S,
ita quadratum K, ad quadratum G. Cum ergo triangulo B C F, conſtructum
ſit æquale quadratum K: erit quoque trapezium B S, quadrato G, 7714. quinti. hoc eſt, rectilineo A, cui quadratum G, conſtructum eſt æquale. quod eſt pro-
poſitum.
Qvod ſi quando duæ rectæ B F, C F, in tam remoto puncto concurrant,
vt vix haberi poſsit, (quod quidem tunc accidet, cum ipſæ rectæ ferè pa-
rallelæ ſunt) abſoluemus problema, etiamſi punctum concurſus F, non habea-
mus, huncin modum. Sumpto vtcunque puncto T, in altera earum, nimirum
in C F, agatur T V, alteri BF, parallela; & duabus B C, C V, inueniatur tertia
proportionalis X. Conſtructo deinde ex ſcholio propoſ. 14. lib. 2. Euclid. vel
potius, vt Num. 4. cap. 4. libr. 4. huius docuimus, quadrato G, æquali rectili-
neo A, inueniatur tribus BC, X, H I, quarta proportionalis IY, agatur que Y Z,
lateribus qua drati parallela. Et quoniam eſt, vt triangulum B C F, (ſi 88coroll. 19.
ſexti. ficeretur) ad triangulum V C T, ita recta B C, ad rectam X, hoc eſt, ita H
vt vix haberi poſsit, (quod quidem tunc accidet, cum ipſæ rectæ ferè pa-
rallelæ ſunt) abſoluemus problema, etiamſi punctum concurſus F, non habea-
mus, huncin modum. Sumpto vtcunque puncto T, in altera earum, nimirum
in C F, agatur T V, alteri BF, parallela; & duabus B C, C V, inueniatur tertia
proportionalis X. Conſtructo deinde ex ſcholio propoſ. 14. lib. 2. Euclid. vel
potius, vt Num. 4. cap. 4. libr. 4. huius docuimus, quadrato G, æquali rectili-
neo A, inueniatur tribus BC, X, H I, quarta proportionalis IY, agatur que Y Z,
lateribus qua drati parallela. Et quoniam eſt, vt triangulum B C F, (ſi 88coroll. 19.
ſexti. ficeretur) ad triangulum V C T, ita recta B C, ad rectam X, hoc eſt, ita H