27185
eſſe E L ad L H, vt B I ad I G, erit diuidendo, &
conuertendo L H ad
H E, vel L R ad E M (ob triangulorum L H R, E H M ſimilitudinem)
vt I G ad G B, vel ita I P ad B N (ob ſimilitudinem triangulorum I G P,
B G N) & permutando L R ad I P, vt E M ad B N. Quod reliquum erat
oſtendere de portionibus ſemi-Ellipſi maioribus.
H E, vel L R ad E M (ob triangulorum L H R, E H M ſimilitudinem)
vt I G ad G B, vel ita I P ad B N (ob ſimilitudinem triangulorum I G P,
B G N) & permutando L R ad I P, vt E M ad B N. Quod reliquum erat
oſtendere de portionibus ſemi-Ellipſi maioribus.
Tandem intelligantur duæ ſemi- Ellipſes I E B, E B L de eadem Ellipſi.
Dicobaſim I B ad baſim L E eſſe reciprocè, vt altitudo portionis E B L ad
altitudinem portionis I E B.
Dicobaſim I B ad baſim L E eſſe reciprocè, vt altitudo portionis E B L ad
altitudinem portionis I E B.
Iunctis enim E I, E B;
cum in triangulis I E O, B E O, quorum com-
munis vertex E, ſit baſis I O æqualis baſi B O, erit triangulum I E O,
triangulo B E O æquale; & ſi concipiatur baſis trianguli B E O permutari,
ita vt ipſa ſit O E, & vertex B: cum huiuſmodi triangula ſint æqualia, erit
baſis I O, vnius I E O, ad baſim O E, alterius B E O, ita reciprocè altitu-
do trianguli B E O, cuius vertex B, ad altitudinem trianguli I E O, cuius
vertex E; ſed horum triangulorum altitudines ſunt eædem, ac ſemi-Elli-
pſium E B L, I E B, ergo I O ad O E, vel ſumptis duplis, baſis I B ad ba-
ſim L E, erit reciprocè, vt altitudo ſemi- Ellipſis E B L ad altitudinem
ſemi- Ellipſis I E B.
munis vertex E, ſit baſis I O æqualis baſi B O, erit triangulum I E O,
triangulo B E O æquale; & ſi concipiatur baſis trianguli B E O permutari,
ita vt ipſa ſit O E, & vertex B: cum huiuſmodi triangula ſint æqualia, erit
baſis I O, vnius I E O, ad baſim O E, alterius B E O, ita reciprocè altitu-
do trianguli B E O, cuius vertex B, ad altitudinem trianguli I E O, cuius
vertex E; ſed horum triangulorum altitudines ſunt eædem, ac ſemi-Elli-
pſium E B L, I E B, ergo I O ad O E, vel ſumptis duplis, baſis I B ad ba-
ſim L E, erit reciprocè, vt altitudo ſemi- Ellipſis E B L ad altitudinem
ſemi- Ellipſis I E B.
Quò autem ad portiones eiuſdem anguli, ſuper figuram primam Propoſ.
45. huius, in qua diametri B E, M D portionum, ſiue triangulorum A B C,
H M I pertingunt ad eandem Hyperbolen D E concentricam, cum ibi de-
monſtratum ſit ipſa triangula inter ſe eſſe æqualia, erit baſis A C vnius, ad
H I baſim alterius, vt altitudo trianguli H M I ad altitudinem trianguli A
B C: hoc enim elicitur ex elementis, nam triangula æqualia habent baſes
altitudinibus reciprocè proportionales. Quare portiones eiuſdem coni- ſe-
ctionis, & c. Quod erat, & c.
45. huius, in qua diametri B E, M D portionum, ſiue triangulorum A B C,
H M I pertingunt ad eandem Hyperbolen D E concentricam, cum ibi de-
monſtratum ſit ipſa triangula inter ſe eſſe æqualia, erit baſis A C vnius, ad
H I baſim alterius, vt altitudo trianguli H M I ad altitudinem trianguli A
B C: hoc enim elicitur ex elementis, nam triangula æqualia habent baſes
altitudinibus reciprocè proportionales. Quare portiones eiuſdem coni- ſe-
ctionis, & c. Quod erat, & c.
THEOR. XL. PROP. LXV.
Æquales portiones eiuſdem coni - ſectionis, vel circuli, aut
etiam anguli, habent baſes altitudinibus reciprocè proportiona-
les. Et è conuerſo.
etiam anguli, habent baſes altitudinibus reciprocè proportiona-
les. Et è conuerſo.
Si portiones de eadem coni - ſectione, vel circulo, aut etiam
angulo habuerint baſes altitudinibus reciprocè proportionales,
ipſæ portiones æquales erunt.
angulo habuerint baſes altitudinibus reciprocè proportionales,
ipſæ portiones æquales erunt.
1.
ETenim, quò ad primùm, quandò portiones de eadem coni- ſectione,
vel circulo, aut etiam angulo ſunt æquales, ſi fuerint de cadem Para-
bola, habent intercepta diametrorum ſegmenta inter ſe æqualia, & ſi de ea-
dem Hyperbola, vel Ellipſi, vel circulo habent ſegmenta proprijs ſemi- dia-
metris proportionalia (nam ſi fuerint de eodem angulo propoſitum 1163. h. conſtat, ex Elementis;) ſed quandò huiuſmodi portionibus inſunt condi-
tiones prædictæ, ipſæ habent baſes altitudinibus reciprocè 2264. h. les, ergo, & cum fuerint equales, ipſarum baſes altitudinibus erunt
vel circulo, aut etiam angulo ſunt æquales, ſi fuerint de cadem Para-
bola, habent intercepta diametrorum ſegmenta inter ſe æqualia, & ſi de ea-
dem Hyperbola, vel Ellipſi, vel circulo habent ſegmenta proprijs ſemi- dia-
metris proportionalia (nam ſi fuerint de eodem angulo propoſitum 1163. h. conſtat, ex Elementis;) ſed quandò huiuſmodi portionibus inſunt condi-
tiones prædictæ, ipſæ habent baſes altitudinibus reciprocè 2264. h. les, ergo, & cum fuerint equales, ipſarum baſes altitudinibus erunt