1parallelo alla base. Essendo ora il quadrato FB doppio del BC, sarà EG dop
pio del GI, e però il rettangolo EIH eguale al quadrato IG, e però l'armilla
EI eguale al cerchio IG. Ma l'armilla LM, all'armilla EI, sta come il ret
tangolo LMP al rettangolo EIH, ovvero, per il lemma precedente, come il
rettangolo CMA al rettangolo CIA, cioè, come il rettangolo BOA al rettan
golo BGA, cioè come il quadrato ON al quadrato GI. Ma i conseguenti sono
uguali, però anche gli antecedenti, cioè l'armilla LM sarà uguale al cerchio
ON, et sic semper, ergo patet propositum ” (ivi).
pio del GI, e però il rettangolo EIH eguale al quadrato IG, e però l'armilla
EI eguale al cerchio IG. Ma l'armilla LM, all'armilla EI, sta come il ret
tangolo LMP al rettangolo EIH, ovvero, per il lemma precedente, come il
rettangolo CMA al rettangolo CIA, cioè, come il rettangolo BOA al rettan
golo BGA, cioè come il quadrato ON al quadrato GI. Ma i conseguenti sono
uguali, però anche gli antecedenti, cioè l'armilla LM sarà uguale al cerchio
ON, et sic semper, ergo patet propositum ” (ivi).
Così, il conoide si veniva a risolvere in due figure, delle quali era nota
la stereometria, e si poteva con gran facilità, componendo, ricavarne la pro
porzione di tutto il solido a una delle sue parti componenti, come per esem
pio al cono inscritto, intorno a che il Torricelli si proponeva di dimostrare:
“ Se sarà una porzione di sfera o sferoide, ovvero conoide parabolico, op
pure iperbolico, di cui asse sia AB (nella figura 208 qui poco addietro) e
cono inscritto CAD, e dal mezzo dell'asse sia applicata la EF; dico che tutto
il solido al cono sta come il quadrato FE, col quadrato EG, al doppio del
quadrato EG ” (ivi).
la stereometria, e si poteva con gran facilità, componendo, ricavarne la pro
porzione di tutto il solido a una delle sue parti componenti, come per esem
pio al cono inscritto, intorno a che il Torricelli si proponeva di dimostrare:
“ Se sarà una porzione di sfera o sferoide, ovvero conoide parabolico, op
pure iperbolico, di cui asse sia AB (nella figura 208 qui poco addietro) e
cono inscritto CAD, e dal mezzo dell'asse sia applicata la EF; dico che tutto
il solido al cono sta come il quadrato FE, col quadrato EG, al doppio del
quadrato EG ” (ivi).
Per la dimostrazione supponesi un lemma, taciuto dall'Autore per al
cune ragioni, che appariranno in seguito da questa intima storia svelate, ma
intanto quel lemma è tale: La sferoide è doppia del rombo solido inscritto,
verità, che si conclude per corollario immediato dalla XXIX archimedea De
conoid. et sphaer., semplicemente osservando che, se le due emisferoidi sono
uguali ciascuna al doppio del cono inscritto, sarà la sferoide intera uguale
al doppio del rombo solido, composto di quegli stessi due coni, la misura dei
quali essendo AB.πGE2/3=AB.πFG.GH/3, sarà perciò AB.2π.FG.GH/3
la misura della sferoide o del bilineo, che chiameremo Bo, tra il quale e
Co, che vuol dire il cono CAD inscritto e misurato da AB.πCB2/3; interce
derà la proporzione Bo:Co=2FG.GH:CB2, la quale, per essere CB=
2EG, e perciò CB2=4EG, sostituendo, et sumptis dimidiis, si trasformerà
in quest'altra Bo:Co=FG.GH:2EG2. Poi, componendo, e osservando che
il bilineo insieme col cono compongono tutto il solido So, avremo So:Co=
FG.GH+2EG2:2EG2. Sostituendo in fine, in luogo del rettangolo, la diffe
renza de'quadrati espressa da FE2—EG2, avremo So:Co=FE2+EG2:2 ES2,
come concisamente viene il Torricelli a dimostrare così, col suo proprio di
scorso:
cune ragioni, che appariranno in seguito da questa intima storia svelate, ma
intanto quel lemma è tale: La sferoide è doppia del rombo solido inscritto,
verità, che si conclude per corollario immediato dalla XXIX archimedea De
conoid. et sphaer., semplicemente osservando che, se le due emisferoidi sono
uguali ciascuna al doppio del cono inscritto, sarà la sferoide intera uguale
al doppio del rombo solido, composto di quegli stessi due coni, la misura dei
quali essendo AB.πGE2/3=AB.πFG.GH/3, sarà perciò AB.2π.FG.GH/3
la misura della sferoide o del bilineo, che chiameremo Bo, tra il quale e
Co, che vuol dire il cono CAD inscritto e misurato da AB.πCB2/3; interce
derà la proporzione Bo:Co=2FG.GH:CB2, la quale, per essere CB=
2EG, e perciò CB2=4EG, sostituendo, et sumptis dimidiis, si trasformerà
in quest'altra Bo:Co=FG.GH:2EG2. Poi, componendo, e osservando che
il bilineo insieme col cono compongono tutto il solido So, avremo So:Co=
FG.GH+2EG2:2EG2. Sostituendo in fine, in luogo del rettangolo, la diffe
renza de'quadrati espressa da FE2—EG2, avremo So:Co=FE2+EG2:2 ES2,
come concisamente viene il Torricelli a dimostrare così, col suo proprio di
scorso:
“ Il solido descritto dal bilineo CFA già è uguale ad una sferoide, il
cui asse sia BA, ed il cui massimo cerchio sia uguale all'armilla FG, ovvero,
risolvendo la sferoide in cono, è uguale ad un cono, la cui altezza sia BA,
ed il quadrato del semidiametro della base fosse due rettangoli FG.GH,
perchè allora la base del cono sarà doppia dell'armilla FG, e però doppia
del massimo cerchio della sferoide. Dunque il solido del detto bilineo CFA,
al cono inscritto, sta come due rettangoli FG.GH al quadrato CB, cioè a
cui asse sia BA, ed il cui massimo cerchio sia uguale all'armilla FG, ovvero,
risolvendo la sferoide in cono, è uguale ad un cono, la cui altezza sia BA,
ed il quadrato del semidiametro della base fosse due rettangoli FG.GH,
perchè allora la base del cono sarà doppia dell'armilla FG, e però doppia
del massimo cerchio della sferoide. Dunque il solido del detto bilineo CFA,
al cono inscritto, sta come due rettangoli FG.GH al quadrato CB, cioè a