1che intercedenti, per aver fra l'estremità della detta libbra indicato il punto,
dove il solido tutto intero concentra il suo peso. Il primo passo perciò si fa
dimostrando la seguente
724[Figure 724]
dove il solido tutto intero concentra il suo peso. Il primo passo perciò si fa
dimostrando la seguente
724[Figure 724]Figura 219.
“ PROPOSIZIONE XLVIII. — Reliquum
segmenti conici, dempto cono maioris basis,
centrum habet in axe, si fiat, ut quatuor
diametri maiores cum quatuor minoribus,
ad duos maiores cum uno minori, ita axis
AB ad BC ” (fig. 219).
segmenti conici, dempto cono maioris basis,
centrum habet in axe, si fiat, ut quatuor
diametri maiores cum quatuor minoribus,
ad duos maiores cum uno minori, ita axis
AB ad BC ” (fig. 219).
In aiuto alla dimostrazione soccorre un
lemma, in cui si dimostra che, dato il segmento conico ABCD (fig. 220),
scavato dal cono AED, prolungate le AE, DC infino all'incontro in H, e da
questo punto condotta una linea parallela ad EC, che incontri il prolunga
mento dell'asse EF in G; se per G, C, F si farà passare una semiellisse,
dalla rivoluzion della quale intorno a EF si descriva una sferoide; il rima
nente del segmento conico, toltone il cono della maggior base, sarà equiva
lente a CFB, porzione della detta sferoide.
lemma, in cui si dimostra che, dato il segmento conico ABCD (fig. 220),
scavato dal cono AED, prolungate le AE, DC infino all'incontro in H, e da
questo punto condotta una linea parallela ad EC, che incontri il prolunga
mento dell'asse EF in G; se per G, C, F si farà passare una semiellisse,
dalla rivoluzion della quale intorno a EF si descriva una sferoide; il rima
nente del segmento conico, toltone il cono della maggior base, sarà equiva
lente a CFB, porzione della detta sferoide.
Si dimostra ciò dal Torricelli co'soliti modi suoi proprii, che si com
pendiano ne'seguenti. È per ragion delle parallele BE:IM=AE:AM=
725[Figure 725]
pendiano ne'seguenti. È per ragion delle parallele BE:IM=AE:AM=
725[Figure 725]Figura 220.
EF:FL, e anche insieme BE:MO=EC:MO=
CH:HO=EG:GI. Dunque, moltiplicando termine a
termine, e per le proprietà dell'ellisse, BE3:IM.MO=
FE.EG:FL.LG=BE2:NL2, e perciò πIM.MO=
πNL2, ossia l'armilla IM è uguale al circolo LN.
Così essendo di tutte le altre sezioni resta dimo
strata vera l'eguaglianza tra la sferoide e il bic
chiere.
EF:FL, e anche insieme BE:MO=EC:MO=
CH:HO=EG:GI. Dunque, moltiplicando termine a
termine, e per le proprietà dell'ellisse, BE3:IM.MO=
FE.EG:FL.LG=BE2:NL2, e perciò πIM.MO=
πNL2, ossia l'armilla IM è uguale al circolo LN.
Così essendo di tutte le altre sezioni resta dimo
strata vera l'eguaglianza tra la sferoide e il bic
chiere.
“ Reliquum segmenti conici (frettolosamente il
Torricelli scriveva) dempto cono maioris basis, est sphaerois, cuius axis in
teger habebitur si fiat, ut FD ad EC, ita FG ad GE. ”
Torricelli scriveva) dempto cono maioris basis, est sphaerois, cuius axis in
teger habebitur si fiat, ut FD ad EC, ita FG ad GE. ”
“ Fiat, et per CBF transeat ellipsis, ex qua fiat sphaerois. Ductaque IO,
parallela ad AD, habebit quadratum BE, ad rectangulum IMO, compositam
rationem ex rationibus BE ad IM, sive EA ad AM, sive EF ad FL, et ex
ratione BE ad MO, vel EC ad MO, vel CH ad HO, vel EG ad GL. Quare
quadratum BE, ad rectangulum IMO, est ut rectangulum FEG ad rectangu
lum FLG, sive ut quadratum idem BE ad quadratum NL. Sunt ergo aequa
lia rectangulum IMO, et quadratum NL; quare armilla IM aequatur cir
culo NL ” (MSS. Gal. Disc., T. XXXVI, fol. 43).
parallela ad AD, habebit quadratum BE, ad rectangulum IMO, compositam
rationem ex rationibus BE ad IM, sive EA ad AM, sive EF ad FL, et ex
ratione BE ad MO, vel EC ad MO, vel CH ad HO, vel EG ad GL. Quare
quadratum BE, ad rectangulum IMO, est ut rectangulum FEG ad rectangu
lum FLG, sive ut quadratum idem BE ad quadratum NL. Sunt ergo aequa
lia rectangulum IMO, et quadratum NL; quare armilla IM aequatur cir
culo NL ” (MSS. Gal. Disc., T. XXXVI, fol. 43).
Riducendoci ora nuovamente sott'occhio la figura 219, si costruisca,
secondo la regola ora insegnata, la sferoide, alla porzione EIAF della quale
sappiamo equivalere quel che riman del tronco, tolto il cono inscritto DBG.
Sia C il centro della descritta porzione sferoidea, che sarà anche insieme il
centro del solido scavato: rimane a dimostrare che C sta veramente sull'asse
AB in quel punto, che il Torricelli annunziava.
secondo la regola ora insegnata, la sferoide, alla porzione EIAF della quale
sappiamo equivalere quel che riman del tronco, tolto il cono inscritto DBG.
Sia C il centro della descritta porzione sferoidea, che sarà anche insieme il
centro del solido scavato: rimane a dimostrare che C sta veramente sull'asse
AB in quel punto, che il Torricelli annunziava.