Per la proposizione XLV, qui addietro scritta, essendo BC:AC=
2IM2:2IM2+EB2, è facile dedurne BC:CM=IM2:ML2. Ma, per il
precedente lemma, πIM2=πHI.IN; dunque IM2=HI.IN; e dall'altra
parte ML2=HI2, per essere HN parallela alla base e bissettrice dell'asse:
onde BC:CM=HI.IN:HI2=IN:HI=4IN:4IH. Ma IH=EB/2=
EF/4, e perciò 4IH=EF. Di più essendo IN=HN—IH=(EF+DG)/2—EF/4,
sarà 4IN=2EF+2DG—EF=2DG+EF. Dunque BC:CM=
2DG+EF:EF. Componendo, BC+CM:BC=2DG+2EF:2DG+EF.
Sostituendo a BC+CM, BM, e duplicando gli antecedenti, 2BM:BC=
4DG+4EF:2DG+EF, ossia AB:BC=4DG+4EF:2DG+EF,
come da principii frettolosamente posti conclude, nelle seguenti parole, il Tor
ricelli, ripigliando il costrutto da noi di sopra nell'annunziata proposizione
lasciato interrotto.
2IM2:2IM2+EB2, è facile dedurne BC:CM=IM2:ML2. Ma, per il
precedente lemma, πIM2=πHI.IN; dunque IM2=HI.IN; e dall'altra
parte ML2=HI2, per essere HN parallela alla base e bissettrice dell'asse:
onde BC:CM=HI.IN:HI2=IN:HI=4IN:4IH. Ma IH=EB/2=
EF/4, e perciò 4IH=EF. Di più essendo IN=HN—IH=(EF+DG)/2—EF/4,
sarà 4IN=2EF+2DG—EF=2DG+EF. Dunque BC:CM=
2DG+EF:EF. Componendo, BC+CM:BC=2DG+2EF:2DG+EF.
Sostituendo a BC+CM, BM, e duplicando gli antecedenti, 2BM:BC=
4DG+4EF:2DG+EF, ossia AB:BC=4DG+4EF:2DG+EF,
come da principii frettolosamente posti conclude, nelle seguenti parole, il Tor
ricelli, ripigliando il costrutto da noi di sopra nell'annunziata proposizione
lasciato interrotto.
“ Nam sit centrum praedictum C: erit ergo BC ad CM ut quadratum
IM ad ML, sive, ob aequalitatem, ut rectangulum HIN ad quadratum HI,
nempe ut recta NI ad IH. Sumptisque quadruplis, ut duo diametri maiores
DG, cum uno minori EF, ad EF. Et convertendo, componendoque, sumptisque
antecedentibus duplis, erit AB ad BC ut quatuor EF, cum quatuor DG, ad
DG bis, cum EF semel, que e. d. ” (ibid., fol. 45).
IM ad ML, sive, ob aequalitatem, ut rectangulum HIN ad quadratum HI,
nempe ut recta NI ad IH. Sumptisque quadruplis, ut duo diametri maiores
DG, cum uno minori EF, ad EF. Et convertendo, componendoque, sumptisque
antecedentibus duplis, erit AB ad BC ut quatuor EF, cum quatuor DG, ad
DG bis, cum EF semel, que e. d. ” (ibid., fol. 45).
Il secondo passo, che bisognava fare, perchè, procedendo per questa via,
potesse il Torricelli conseguire il suo intento, era quello di dimostrare qual
726[Figure 726]
potesse il Torricelli conseguire il suo intento, era quello di dimostrare qual
726[Figure 726]Figura 221.
ragione avesse il solido generato dal trian
golo ABE (fig. 221) al solido del triangolo
AEF, rivolgendosi ambedue le figure intorno
all'asse EF: ragione, ch'esso Torricelli an
nunzia essere di BC(BC+AD) a 2AD2.
Qui però è uno sbaglio manifesto, occasionato
senza dubbio dalla fretta nello scrivere, per
chè il quarto termine della relazione, secondo il calcolo rettamente condotto,
è AD2 semplicemente, e non 2AD2.
ragione avesse il solido generato dal trian
golo ABE (fig. 221) al solido del triangolo
AEF, rivolgendosi ambedue le figure intorno
all'asse EF: ragione, ch'esso Torricelli an
nunzia essere di BC(BC+AD) a 2AD2.
Qui però è uno sbaglio manifesto, occasionato
senza dubbio dalla fretta nello scrivere, per
chè il quarto termine della relazione, secondo il calcolo rettamente condotto,
è AD2 semplicemente, e non 2AD2.
Seguitiamo infatti l'Autore, da cui si suppone per già dimostrato avere
il segmento della sferoide, che significheremo con S.BFC, al cono BFC, la
proporzione di MG2+GN2 a GN2. Duplicando i termini della seconda ra
gione, sarà S.BFC:BFC=2MG2+2GN2:4GN2=2MG2+2GN2:BE2.
Ma AED:BFC=AF2:BE2, dunque S.BFC:AED=2MG2+2GN2:AF2.
Ora MG2=HI.IL, come fu dimostrato nel lemma alla precedente, e NG2=
HI2, per essere HL bissettrice dell'asse, e perciò 2MG2+2GN2=
2HI(IL+IH)=2HI.HL. Sarà dunque, sostituendo, S.BFC:AED=
2HI.HL:AF2. Ma HI=BC/4, HL=(BC+AD)/2, per cui 2MG2+2GN2=
2.BC/4((BC+AD)/2)=BC/4(BC+AD), e in conclusione S.BFC:AED=
il segmento della sferoide, che significheremo con S.BFC, al cono BFC, la
proporzione di MG2+GN2 a GN2. Duplicando i termini della seconda ra
gione, sarà S.BFC:BFC=2MG2+2GN2:4GN2=2MG2+2GN2:BE2.
Ma AED:BFC=AF2:BE2, dunque S.BFC:AED=2MG2+2GN2:AF2.
Ora MG2=HI.IL, come fu dimostrato nel lemma alla precedente, e NG2=
HI2, per essere HL bissettrice dell'asse, e perciò 2MG2+2GN2=
2HI(IL+IH)=2HI.HL. Sarà dunque, sostituendo, S.BFC:AED=
2HI.HL:AF2. Ma HI=BC/4, HL=(BC+AD)/2, per cui 2MG2+2GN2=
2.BC/4((BC+AD)/2)=BC/4(BC+AD), e in conclusione S.BFC:AED=