1drata FG. Componendo, ML ad LO est ut sex quadrata BE, cum tribus qua
dratis FG, ad duo quadrata FG. Duplicando antecedentia, FL ad LO ut
12 quadrata BE+6 quadratis FG, ad 2FG. Per conversionem rationis, LF
ad FO ut 12 quadrata BE+6 quadratis FG, ed 12BE+4FG. Dupli
cando antecedentia, EF ad FO ut 24 quadrata BE+12FG, ad 12BE+4FG.
Dividendo, EO ad OF ut 12BE+8FG ad 12BE+4FG. ”
dratis FG, ad duo quadrata FG. Duplicando antecedentia, FL ad LO ut
12 quadrata BE+6 quadratis FG, ad 2FG. Per conversionem rationis, LF
ad FO ut 12 quadrata BE+6 quadratis FG, ed 12BE+4FG. Dupli
cando antecedentia, EF ad FO ut 24 quadrata BE+12FG, ad 12BE+4FG.
Dividendo, EO ad OF ut 12BE+8FG ad 12BE+4FG. ”
“ Sed quia rectangulum AGD, per lemma II ad propos. XL, aequale
est quadrato BE, erit quadratum FG differentia inter quadratum AF, BE.
Ergo fieri poterit talis reductio: EO ad OF est ut 4BE, cum 8FA, ad 8BE
729[Figure 729]
est quadrato BE, erit quadratum FG differentia inter quadratum AF, BE.
Ergo fieri poterit talis reductio: EO ad OF est ut 4BE, cum 8FA, ad 8BE
729[Figure 729]Figura 224.
cum 4FA: vel, ut quadratum BC, cum 2AD, ad
quadratum AD, cum 2BC, que e. d. ” (ibid., fol. 50).
cum 4FA: vel, ut quadratum BC, cum 2AD, ad
quadratum AD, cum 2BC, que e. d. ” (ibid., fol. 50).
Ma, per comprendere tutte le conoidali in una
proposizione universalissima, premetteva il seguente
Lemma: “ Se sarà un solido o conoidale o porzione
di sfera o sferoide ABC (fig. 224), cni asse sia BD,
cono inscritto ABC, tangenti AE, ed EB, segmento
conico AEFC; dico che il cono inscritto, il solido
intermedio e la scodella esterna sono in continua proporzione. ”
proposizione universalissima, premetteva il seguente
Lemma: “ Se sarà un solido o conoidale o porzione
di sfera o sferoide ABC (fig. 224), cni asse sia BD,
cono inscritto ABC, tangenti AE, ed EB, segmento
conico AEFC; dico che il cono inscritto, il solido
intermedio e la scodella esterna sono in continua proporzione. ”
“ Concepiscasi il cono EDF il quale, nella XXXVII, è stato provato
eguale alla scodella esterna, fatta dalla tangente. Si è anco dimostrato, nella
proposizione seconda premessa alla XLVI come lemma, che, se dal segmento
conico leveremo li due coni ABC, EDF, il rimanente è medio proporzionale
fra essi coni. Dunque, levando il cono ABC o scodella esterna, il rimanente
sarà medio proporzionale fra esso cono e la scodella ” (ivi, fol. 112). Ciò,
chiamato I il detto solido medio proporzionale, potrà scriversi sotto la forma
ABC:I=I:EDF. Ma ABC:EDF=AD2:EB2, dunque EDF=EB2.ABC/AD2,
e perciò I2=ABC.EDF=ABC2.EB2/AD2, ossia I2:ABC2=EB2:AD2, ed
estratta la radice e trasponendo, ABC:I=AD:EB.
eguale alla scodella esterna, fatta dalla tangente. Si è anco dimostrato, nella
proposizione seconda premessa alla XLVI come lemma, che, se dal segmento
conico leveremo li due coni ABC, EDF, il rimanente è medio proporzionale
fra essi coni. Dunque, levando il cono ABC o scodella esterna, il rimanente
sarà medio proporzionale fra esso cono e la scodella ” (ivi, fol. 112). Ciò,
chiamato I il detto solido medio proporzionale, potrà scriversi sotto la forma
ABC:I=I:EDF. Ma ABC:EDF=AD2:EB2, dunque EDF=EB2.ABC/AD2,
e perciò I2=ABC.EDF=ABC2.EB2/AD2, ossia I2:ABC2=EB2:AD2, ed
estratta la radice e trasponendo, ABC:I=AD:EB.
Il centro di gravità del cono ABC è in N, punto noto; del solido inter
medio I, ossia del bilineo AGB equivalente a una sferoide, è in M nel mezzo
dell'asse. Se dunque si supponga in O il centro del tutto, sarà questo indi
cato dalla relazione ABC:I, ossia (a) AD:EB=MO:ON. Moltiplicando
l'una e l'altra ragione di questa per 3/2, e componendo, avremo (b) 3AD+
2EB:2EB=3MO+2NO:2NO. Moltiplicando per 2 i conseguenti di (a),
AD:2B=MO:2NO, la quale, per composizione, darà AD+2EB:2EB=
MO+2NO:2NO; ond'è che si trasformerà la (b) in 3AD+2EB:AD+
2EB=3MO+2NO:MO+2NO. Ma 3MO+2NO=3(BO—BM)+
2(BN—BO)=3BO—3BM+2BN—2BO=BO—3BM+2BN=
BO, e dall'altra parte MO+2NO=MD—OD+2(OD—ND)=OD+
MD—2ND=OD; dunque 3AD+2EB:2EB+AD=BO:DO, ed è
ciò che appunto intende di dimostrare il Torricelli in questa sua
medio I, ossia del bilineo AGB equivalente a una sferoide, è in M nel mezzo
dell'asse. Se dunque si supponga in O il centro del tutto, sarà questo indi
cato dalla relazione ABC:I, ossia (a) AD:EB=MO:ON. Moltiplicando
l'una e l'altra ragione di questa per 3/2, e componendo, avremo (b) 3AD+
2EB:2EB=3MO+2NO:2NO. Moltiplicando per 2 i conseguenti di (a),
AD:2B=MO:2NO, la quale, per composizione, darà AD+2EB:2EB=
MO+2NO:2NO; ond'è che si trasformerà la (b) in 3AD+2EB:AD+
2EB=3MO+2NO:MO+2NO. Ma 3MO+2NO=3(BO—BM)+
2(BN—BO)=3BO—3BM+2BN—2BO=BO—3BM+2BN=
BO, e dall'altra parte MO+2NO=MD—OD+2(OD—ND)=OD+
MD—2ND=OD; dunque 3AD+2EB:2EB+AD=BO:DO, ed è
ciò che appunto intende di dimostrare il Torricelli in questa sua
“ PROPOSIZIONE LI. — Poste le medesime cose che nella precedente