1perficie continebitur, ad reliquum sub duobus planis et curva quadam
superficie contentum; esse ut recta BF ad FE. ”
superficie contentum; esse ut recta BF ad FE. ”
“ Nam producatur FH, axis totius solidi, ductaque IOL, quae bifariam
secet latera EG, BD, connectantur EL, DI. Patet primo: quod centrum to
tius solidi erit punctum O, medium scilicet totius axis FH. Centrum vero
frusti superioris ACBD erit in recta EL, et reliqui frusti in recta DI. Facile
probatur hoc, nam, si totum solidum secetur plano, ad planum CP parallelo,
quodlibet parallelogrammum, quod nascetur in superiori frusto, centrum habe
bit in recta EL, et reliquum parallelogrammum, quod fiet in frusto inferiori,
centrum habebit in recta DI. Propterea omnia simul parallelogramma supe
rioris frusti, sive ipsum superius frustum, centrum habebunt in recta EL, et
sic de reliquo inferiori. ”
secet latera EG, BD, connectantur EL, DI. Patet primo: quod centrum to
tius solidi erit punctum O, medium scilicet totius axis FH. Centrum vero
frusti superioris ACBD erit in recta EL, et reliqui frusti in recta DI. Facile
probatur hoc, nam, si totum solidum secetur plano, ad planum CP parallelo,
quodlibet parallelogrammum, quod nascetur in superiori frusto, centrum habe
bit in recta EL, et reliquum parallelogrammum, quod fiet in frusto inferiori,
centrum habebit in recta DI. Propterea omnia simul parallelogramma supe
rioris frusti, sive ipsum superius frustum, centrum habebunt in recta EL, et
sic de reliquo inferiori. ”
“ Esto iam centrum gravitatis frusti ACBD punctum quodlibet M, in
recta EL, productaque MON, erit omnino N centrum reliqui frusti, eritque
frustum inferius, ad frustum superius, reciproce, ut MO ad ON, sive ut LO
ad OI: hoc est ut BF ad FE, quod erat propositum ” (ibid., T. XXXVI,
fol. 239).
recta EL, productaque MON, erit omnino N centrum reliqui frusti, eritque
frustum inferius, ad frustum superius, reciproce, ut MO ad ON, sive ut LO
ad OI: hoc est ut BF ad FE, quod erat propositum ” (ibid., T. XXXVI,
fol. 239).
Suppongasi ora che ACB, come proponeva il Cavalieri, sia una parabola:
se con F s'indica tuttavia il centro, sarà per le notissime cose BF:FE=
3:2. Condotta poi FD, il centro di gravità del frusto superiore si dovrà tro
vare sopra un punto di lei, e per le cose giè dette anche insieme sopra un
punto della EL: dunque in R, dove ambedue quelle linee concorrono: cosic
chè la parte intersecata ER stia all'altra RL, come quattro sta a tre. Con
ducansi infatti le ED, BR: i triangoli EDF, FDB, appnntati in D, e pari
mente i triangoli ERF, FRB, appuntati in R, stanno come le respettive basi:
cioè, come due a tre, e stanno nella medesima proporzione i rimanenti, tolti
i triangoli col vertice in R da quegli altri col vertice in D: cioè ERD:BRD=
2:3. Dividendo per due i conseguenti, e osservando che la metà del trian
golo BRD è LRD, avremo ERD:LRD=4:3. E i triangoli con uguale al
tezza stando come le loro basi, sarà dunque, come si diceva, ER:RL=
4:3. Se infine conducasi ancora da R, attraverso a O, la linea RS, sarà in S
il centro di gravità del frusto inferiore, il quale starà al superiore reciproca
mente come RO ad OS, o come LO ad OI, cioè come FB ad EF, in sesquial
tera proporzione, secondo che il Torricelli annunziava, correggendo lo sba
glio del Cavalieri, e secondo si conclude da questo scolio, che alla proposizion
precedente si soggiunge nel manoscritto:
se con F s'indica tuttavia il centro, sarà per le notissime cose BF:FE=
3:2. Condotta poi FD, il centro di gravità del frusto superiore si dovrà tro
vare sopra un punto di lei, e per le cose giè dette anche insieme sopra un
punto della EL: dunque in R, dove ambedue quelle linee concorrono: cosic
chè la parte intersecata ER stia all'altra RL, come quattro sta a tre. Con
ducansi infatti le ED, BR: i triangoli EDF, FDB, appnntati in D, e pari
mente i triangoli ERF, FRB, appuntati in R, stanno come le respettive basi:
cioè, come due a tre, e stanno nella medesima proporzione i rimanenti, tolti
i triangoli col vertice in R da quegli altri col vertice in D: cioè ERD:BRD=
2:3. Dividendo per due i conseguenti, e osservando che la metà del trian
golo BRD è LRD, avremo ERD:LRD=4:3. E i triangoli con uguale al
tezza stando come le loro basi, sarà dunque, come si diceva, ER:RL=
4:3. Se infine conducasi ancora da R, attraverso a O, la linea RS, sarà in S
il centro di gravità del frusto inferiore, il quale starà al superiore reciproca
mente come RO ad OS, o come LO ad OI, cioè come FB ad EF, in sesquial
tera proporzione, secondo che il Torricelli annunziava, correggendo lo sba
glio del Cavalieri, e secondo si conclude da questo scolio, che alla proposizion
precedente si soggiunge nel manoscritto:
“ Scholium. — Quando vero huiusmodi solidum ab aliqua parabola ortum
ducat, et oporteat centrum partium reperire; centrum gravitatis frusti ACBD
habebitur producta recta DF in communi concursu cum recta EL. Nam, si
secetur planis ad oppositas bases parallelis, sectiones omnes parabolae erunt,
omniumque et singularum centra gravitatis erunt in recta DF. Ergo frusti
centrum erit in DF. Sed erat etiam in EL, ergo in communi concursu R. ”
ducat, et oporteat centrum partium reperire; centrum gravitatis frusti ACBD
habebitur producta recta DF in communi concursu cum recta EL. Nam, si
secetur planis ad oppositas bases parallelis, sectiones omnes parabolae erunt,
omniumque et singularum centra gravitatis erunt in recta DF. Ergo frusti
centrum erit in DF. Sed erat etiam in EL, ergo in communi concursu R. ”