1reliquae (pag. 43), ossia come due, grado della parabola, più uno, è ad uno.
Il Torricelli poi v'applicò il metodo degl'indivisibili, e riuscì alla medesima
conclusione, supponendo noto il centro di gravità del cono.
Il Torricelli poi v'applicò il metodo degl'indivisibili, e riuscì alla medesima
conclusione, supponendo noto il centro di gravità del cono.
Sia infatti CAG (fig. 231) il trilineo proposto: condotta la AC, e pro
lungata in E l'ascissa NB, avremo, per la parabola da una parte, e per la
similitudine dei triangoli dall'altra, CI:BN=AI2:AN2=IC2:NE2, d'onde,
moltiplicando per 2 la prima ragione, e per π la seconda, CG:BM=πIC2:
736[Figure 736]
lungata in E l'ascissa NB, avremo, per la parabola da una parte, e per la
similitudine dei triangoli dall'altra, CI:BN=AI2:AN2=IC2:NE2, d'onde,
moltiplicando per 2 la prima ragione, e per π la seconda, CG:BM=πIC2:
736[Figure 736]Figura 231.
πNE2, che vuol dire essere le infinite li
nee del trilineo proporzionali agl'infiniti
circoli di un cono, avente sopra quello
descritto col raggio IC la base, e in A il
vertice: per cui avrà la libbra AI, nel me
desimo punto, per ambedue le figure, il
centro dell'equilibrio. E perchè nel cono
quel centro sega l'asse così, che la parte verso il vertice è tripla della
rimanente, dunque anche nell'asse del trilineo tale è la sezione.
πNE2, che vuol dire essere le infinite li
nee del trilineo proporzionali agl'infiniti
circoli di un cono, avente sopra quello
descritto col raggio IC la base, e in A il
vertice: per cui avrà la libbra AI, nel me
desimo punto, per ambedue le figure, il
centro dell'equilibrio. E perchè nel cono
quel centro sega l'asse così, che la parte verso il vertice è tripla della
rimanente, dunque anche nell'asse del trilineo tale è la sezione.
Il Cavalieri divulgò questo modo, avuto privatamente dal Torricelli, nella
propos. XXIX della sua quinta Esercitazione, benchè con ordine inverso, ser
vendosi del centro del trilineo per indicare quello del cono: e fu lo stesso
Cavalieri che, nella XXX appresso, rese al pubblico nota l'altra bella ma
niera di ritrovare il centro del conoide parabolico, da quello del triangolo,
come si vide fare al nostro Autore nella XI di questo trattato.
propos. XXIX della sua quinta Esercitazione, benchè con ordine inverso, ser
vendosi del centro del trilineo per indicare quello del cono: e fu lo stesso
Cavalieri che, nella XXX appresso, rese al pubblico nota l'altra bella ma
niera di ritrovare il centro del conoide parabolico, da quello del triangolo,
come si vide fare al nostro Autore nella XI di questo trattato.
Ma tornando al proposito, se CI:BN=AI3:AN3, e la parabola è perciò
del terzo grado, o è cubica, come si dice; il Torricelli dimostrò che la parte
dell'asse verso il vertice sta alla rimanente come 3+1, ossia 4, sta ad uno.
Se CI:BN=AI4:AN4, e perciò la parabola è biquadratica, le due dette
porzioni dell'asse stanno come 4+1 a uno, ossia l'una è quintupla del
l'altra, e così sempre con regola universale, ut ostenditur in doctrina pa
rabolarum.
del terzo grado, o è cubica, come si dice; il Torricelli dimostrò che la parte
dell'asse verso il vertice sta alla rimanente come 3+1, ossia 4, sta ad uno.
Se CI:BN=AI4:AN4, e perciò la parabola è biquadratica, le due dette
porzioni dell'asse stanno come 4+1 a uno, ossia l'una è quintupla del
l'altra, e così sempre con regola universale, ut ostenditur in doctrina pa
rabolarum.
Si consideri dunque AI come una libbra gravata da grandezze, che si
eccedono via via a proporzione delle distanze uguali, come nel triangolo, o a
proporzion de'quadrati, de'cubi, de'quadrato-quadrati, o di qualsivoglia altra
potenza, come ne'trilinei formati da parabole ordinarie, cubiche, biquadra
tiche ecc.; resterà dimostrato da queste dottrine torricelliane il medesimo
teorema generalissimo proposto di sopra, messo però sotto quest'altra forma:
Se si disporranno in una libbra grandezze eccedentisi l'una sopra l'altra,
a proporzione delle semplici distanze uguali, de'quadrati, de'cubi, de'bi
quadrati o di qualsivoglia altra potenza di esse distanze; sarà la detta
libbra segata dal centro dell'equilibrio con tal ragione, che la parte verso
le grandezze minori stia alla rimanente, come il grado della potenza, cre
sciuto di un'unità, sta all'unità stessa.
eccedono via via a proporzione delle distanze uguali, come nel triangolo, o a
proporzion de'quadrati, de'cubi, de'quadrato-quadrati, o di qualsivoglia altra
potenza, come ne'trilinei formati da parabole ordinarie, cubiche, biquadra
tiche ecc.; resterà dimostrato da queste dottrine torricelliane il medesimo
teorema generalissimo proposto di sopra, messo però sotto quest'altra forma:
Se si disporranno in una libbra grandezze eccedentisi l'una sopra l'altra,
a proporzione delle semplici distanze uguali, de'quadrati, de'cubi, de'bi
quadrati o di qualsivoglia altra potenza di esse distanze; sarà la detta
libbra segata dal centro dell'equilibrio con tal ragione, che la parte verso
le grandezze minori stia alla rimanente, come il grado della potenza, cre
sciuto di un'unità, sta all'unità stessa.