1meremo F e P, e immagineremo pendere insieme con le altre loro metà
dalla libbra DC, sopra la quale, essendo Q il centro dell'equilibrio del prisma,
in R quello della parte tolta, ossia del piramidale; il centro del rimanente,
cioè di quel che si cerca, supposto essere in S, verrà indicato dalla rela
zione (*) QS:QR=P:F. Di qui si vede che sarà allora risoluto il pro
blema, quando siano i punti Q, R determinati sopra la libbra, e sia tra P, F
ritrovata la proporzione della grandezza.
dalla libbra DC, sopra la quale, essendo Q il centro dell'equilibrio del prisma,
in R quello della parte tolta, ossia del piramidale; il centro del rimanente,
cioè di quel che si cerca, supposto essere in S, verrà indicato dalla rela
zione (*) QS:QR=P:F. Di qui si vede che sarà allora risoluto il pro
blema, quando siano i punti Q, R determinati sopra la libbra, e sia tra P, F
ritrovata la proporzione della grandezza.
Il punto Q, da cui pendendo s'equilibra il prisma triangolare, sega la
libbra in modo, che la parte DQ sia alla QC doppia, com'è noto per le cose
già dimostrate, e si potrebbe concludere dalla universalità del principio for
mulato nella precedente proposizione, dalla quale è dato pure con facilità
ritrovare il centro, intorno a cui s'equilibra il piramidale. S'osservi infatti
che CH:BO=CI.IH:BN.NO. Ma CI:BN=AI2:AN2, per la parabola,
e IH:NO=AI:AN, per la similitudine dei triangoli; dunque CH:BO=
AI3:AN3, e ciò significa che i parallelogrammi del piramidale son propor
zionali alle linee di un trilineo cubico, ond'è che quelli segheranno l'asse
nella medesima proporzione di questi, in modo cioè che la parte verso il ver
tice sia quadrupla della rimanente. Se perciò intendasi lo spigolo AI traspor
tato in DC, e ivi lo stesso piramidale raddoppiato; sarà il punto R così di
sposto sopra la libbra DC, che la parte di lei DR stia all'altra RC come
quattro sta a uno.
libbra in modo, che la parte DQ sia alla QC doppia, com'è noto per le cose
già dimostrate, e si potrebbe concludere dalla universalità del principio for
mulato nella precedente proposizione, dalla quale è dato pure con facilità
ritrovare il centro, intorno a cui s'equilibra il piramidale. S'osservi infatti
che CH:BO=CI.IH:BN.NO. Ma CI:BN=AI2:AN2, per la parabola,
e IH:NO=AI:AN, per la similitudine dei triangoli; dunque CH:BO=
AI3:AN3, e ciò significa che i parallelogrammi del piramidale son propor
zionali alle linee di un trilineo cubico, ond'è che quelli segheranno l'asse
nella medesima proporzione di questi, in modo cioè che la parte verso il ver
tice sia quadrupla della rimanente. Se perciò intendasi lo spigolo AI traspor
tato in DC, e ivi lo stesso piramidale raddoppiato; sarà il punto R così di
sposto sopra la libbra DC, che la parte di lei DR stia all'altra RC come
quattro sta a uno.
S'ha dunque di qui notificato, colla formula segnata con asterisco, il
valore di QR. Resta a notificarsi la proporzione tra P e F, per che fare
applicheremo le proposizioni già poco fa scritte: che se dalla LIII veniva
dimostrato che il centro di gravità delle semiparabole, congiunte per la base,
è a tal distanza da C, che stia a quella da D come cinque a tre; dalla LII
si conclude che anche il frusto inferiore, o nel suo tutto o nella sua metà,
quale ora solamente viene in considerazione, sta al frusto superiore F, come
cinque sta a tre: cosicchè chiamato CP tutto intero il solido colonnare parabo
lico, sarà F=3/8CP.
valore di QR. Resta a notificarsi la proporzione tra P e F, per che fare
applicheremo le proposizioni già poco fa scritte: che se dalla LIII veniva
dimostrato che il centro di gravità delle semiparabole, congiunte per la base,
è a tal distanza da C, che stia a quella da D come cinque a tre; dalla LII
si conclude che anche il frusto inferiore, o nel suo tutto o nella sua metà,
quale ora solamente viene in considerazione, sta al frusto superiore F, come
cinque sta a tre: cosicchè chiamato CP tutto intero il solido colonnare parabo
lico, sarà F=3/8CP.
Dai medesimi principii si concluderà pure che, avendo il trilineo AIC
il suo centro di gravità a tre quarti dal vertice, il frusto superiore di lui,
chiamandosi CT il colonnare intero, sarà P=3/4CT. Consideriamo ora che
il colonnare CP è doppio di CT, perchè, avendo ambedue i solidi la mede
sima altezza, la base parabolica DAC è doppia della trilinea AIC, e perciò
F=3/8.2CT=3/4CT=P. Se dunque P=F, per la sopra contrasse
gnata con asterisco, sarà anche QS=QR, e son con ciò fatte note tutte
quelle porzioni, che bisognano per riferire il punto S alle due estremità della
libbra. Abbiamo infatti DS=DQ—QR=DQ—(DR—DQ)=2DQ—DR;
SC=QC+QR=QC+QC—RC=2QC—RC. Ma 2DQ—DR=
2.2/3DC—4/5DC=8/15DC; 2QC—RC=2/3DC—1/5DC=7/15DC;
dunque DS:SC=8:7.
il suo centro di gravità a tre quarti dal vertice, il frusto superiore di lui,
chiamandosi CT il colonnare intero, sarà P=3/4CT. Consideriamo ora che
il colonnare CP è doppio di CT, perchè, avendo ambedue i solidi la mede
sima altezza, la base parabolica DAC è doppia della trilinea AIC, e perciò
F=3/8.2CT=3/4CT=P. Se dunque P=F, per la sopra contrasse
gnata con asterisco, sarà anche QS=QR, e son con ciò fatte note tutte
quelle porzioni, che bisognano per riferire il punto S alle due estremità della
libbra. Abbiamo infatti DS=DQ—QR=DQ—(DR—DQ)=2DQ—DR;
SC=QC+QR=QC+QC—RC=2QC—RC. Ma 2DQ—DR=
2.2/3DC—4/5DC=8/15DC; 2QC—RC=2/3DC—1/5DC=7/15DC;
dunque DS:SC=8:7.