1figura 229, nella quale sappiamo ora per certa scienza che la distanza AD
è 8/15 di tutta intera la libbra. Se perciò s'immagina sospeso il frusto dal
punto D, il centro di gravità dovrà trovarsi lungo il perpendicolo DE, e, per
le cose dette nella proposizione LII, anche lungo la linea AH, che attraversa
il centro di tutte le figure parallelogramme componenti lo stesso frusto, di
cui dunque il centro gravitativo tornerà in Q, dove le due dette linee hanno
il loro concorso. Di un tal concorso è poi facile indicar la posizione nel per
pendicolo DE, attraversato in O dalla AI diagonale, perchè i triangoli simili
già disegnati danno AD:DB=AO:OI=OD:OE=8:7, per cui è OD
8/15 di DE, e DQ, che è metà di DO, com'è BH, metà di BI, 4/15. Riferito
insomma il centro di gravità del frusto agli assi ortogonali AD, DE, che siano
ciascuno divisi in quindici parti uguali, s'avrà l'ascissa a otto, e l'ordinata
a quattro di quelle parti.
è 8/15 di tutta intera la libbra. Se perciò s'immagina sospeso il frusto dal
punto D, il centro di gravità dovrà trovarsi lungo il perpendicolo DE, e, per
le cose dette nella proposizione LII, anche lungo la linea AH, che attraversa
il centro di tutte le figure parallelogramme componenti lo stesso frusto, di
cui dunque il centro gravitativo tornerà in Q, dove le due dette linee hanno
il loro concorso. Di un tal concorso è poi facile indicar la posizione nel per
pendicolo DE, attraversato in O dalla AI diagonale, perchè i triangoli simili
già disegnati danno AD:DB=AO:OI=OD:OE=8:7, per cui è OD
8/15 di DE, e DQ, che è metà di DO, com'è BH, metà di BI, 4/15. Riferito
insomma il centro di gravità del frusto agli assi ortogonali AD, DE, che siano
ciascuno divisi in quindici parti uguali, s'avrà l'ascissa a otto, e l'ordinata
a quattro di quelle parti.
La medesima proposizione VIII del primo libro degli Equiponderanti,
che ne ha guidato in questa ricerca, vale per buona regola anche nell'altra:
nella ricerca cioè del centro di gravità del solido inferiore. Presa infatti BK
5/8 di AB, e condotto il perpendicolo KN, che sia attraversato dalla HP in L,
sarà L il centro di gravità del solido colonnare. Ma essendo Q quello della
parte tolta, prolungato QL così in fino in M, che stia LM a LQ reciproca
mente come il frusto superiore sta all'inferiore, ossia come tre sta a cinque;
sarà in M il centro di gravità del rimanente, ossia del frusto inferiore che
si voleva.
che ne ha guidato in questa ricerca, vale per buona regola anche nell'altra:
nella ricerca cioè del centro di gravità del solido inferiore. Presa infatti BK
5/8 di AB, e condotto il perpendicolo KN, che sia attraversato dalla HP in L,
sarà L il centro di gravità del solido colonnare. Ma essendo Q quello della
parte tolta, prolungato QL così in fino in M, che stia LM a LQ reciproca
mente come il frusto superiore sta all'inferiore, ossia come tre sta a cinque;
sarà in M il centro di gravità del rimanente, ossia del frusto inferiore che
si voleva.
Le coordinate ortogonali, che indicano la situazione del punto M, sono
IT=IN+TN e TM=SE—LR. Ora IN è porzione nota dell'asse IV,
ed SE è la metà del perpendicolo ED. La TN poi, ossia la MR, e la LR sono
notificate dai triangoli simili LMR, QLS, i quali danno RM=ML/Lq.LS=
3/5LS; LR=ML/Lq.OQ=3/5OQ, ed LS è uguale a LH—SH; OQ=
OD—DQ tutte quantità note. Per quantità tutte note verrà dunque a in
dicarsi dalle dette coordinate ortogonali il centro di gravità del frusto infe
riore. Valga questo nostro discorso, qualunque egli sia, a illustrare per qualche
parte, e a rendere per qualche altra compiuta la dimostrazione scritta dal
Torricelli per suo memoriale, e per parteciparla al Cavalieri, che curioso
gliela aveva chiesta, intanto che l'Autore di lei aspettava a ripulirla, e a met
terla in ordine per la stampa quell'occasione, che invidiosamente gli tolse la
morte. La detta dimostrazione poi, supposte le cose già annunziate di sopra,
è tale:
IT=IN+TN e TM=SE—LR. Ora IN è porzione nota dell'asse IV,
ed SE è la metà del perpendicolo ED. La TN poi, ossia la MR, e la LR sono
notificate dai triangoli simili LMR, QLS, i quali danno RM=ML/Lq.LS=
3/5LS; LR=ML/Lq.OQ=3/5OQ, ed LS è uguale a LH—SH; OQ=
OD—DQ tutte quantità note. Per quantità tutte note verrà dunque a in
dicarsi dalle dette coordinate ortogonali il centro di gravità del frusto infe
riore. Valga questo nostro discorso, qualunque egli sia, a illustrare per qualche
parte, e a rendere per qualche altra compiuta la dimostrazione scritta dal
Torricelli per suo memoriale, e per parteciparla al Cavalieri, che curioso
gliela aveva chiesta, intanto che l'Autore di lei aspettava a ripulirla, e a met
terla in ordine per la stampa quell'occasione, che invidiosamente gli tolse la
morte. La detta dimostrazione poi, supposte le cose già annunziate di sopra,
è tale:
“ His suppositis, esto parallelepipedum 12: eritque cylindricum parabo
licum integrum, ad reliquam partem, ut basis ad basim, ob eamdem altitu
dinem: nempe ut parabola ABCD ad trilineum externum ABCI; hoc est, in
nostro casu, ut 8 ad 4. Pars inferior cylindri parabolici, ad superiorem ABCDF,
est ut 5 ad 3, ut ostendimus iam pridem. Si enim intelligantur duae semipa
rabolae ad eamdem basim CD coniunctae cum suo solido atque sectione, uti
licum integrum, ad reliquam partem, ut basis ad basim, ob eamdem altitu
dinem: nempe ut parabola ABCD ad trilineum externum ABCI; hoc est, in
nostro casu, ut 8 ad 4. Pars inferior cylindri parabolici, ad superiorem ABCDF,
est ut 5 ad 3, ut ostendimus iam pridem. Si enim intelligantur duae semipa
rabolae ad eamdem basim CD coniunctae cum suo solido atque sectione, uti