1nea duae figurae, constantes ex arcuatis aeqealtis, ita ut defectus figurarum
inscriptarum a trilineis minor sit spatio Σ. Tunc enim erit ratio trilineorum,
ad differentiam, maior ratione CE ad Eα. ”
inscriptarum a trilineis minor sit spatio Σ. Tunc enim erit ratio trilineorum,
ad differentiam, maior ratione CE ad Eα. ”
“ Factum ergo sit, supponamusque inscriptas in trilineis esse duas figu
ras, ex arcuatis compositas, uti iussum est. Ex demonstratis, erit centrum
gravitatis incriptarum figurarum in recta BE. Esto illud punctum quodcum
que γ, ducaturque recta γβ, et extendatur. Fiat deinde ut ipsa duo trilinea
ABF, BCH, ad praedictam differentiam, ita recta quaedam εγ ad γβ: patet
quod recta εγ maior erit quam δγ, nam ratio εγ, ad γβ, eadem est ac ratio
trilineorum ad differentiam, quae quidem ratio, per constructionem, maior
est ratione CE ad Eα: hoc est ratione δγ ad γβ. Ergo recta εγ maior est
quam recta δγ. Dividendo itaque, erunt figurae inscriptae in arcuatis constan
tes, ad illam differentiam, ut recta εβ ad βγ. Sed β centrum gravitatis est
totius, et γ figurarum inscriptarum; ergo ε erit centrum gravitatis differen
tiae, absurdum. Non est ergo centrum gravitatis trilineorum extra rectam BE,
sed in ipsa, que e. d. ” (ibid., fol. 275, 76).
ras, ex arcuatis compositas, uti iussum est. Ex demonstratis, erit centrum
gravitatis incriptarum figurarum in recta BE. Esto illud punctum quodcum
que γ, ducaturque recta γβ, et extendatur. Fiat deinde ut ipsa duo trilinea
ABF, BCH, ad praedictam differentiam, ita recta quaedam εγ ad γβ: patet
quod recta εγ maior erit quam δγ, nam ratio εγ, ad γβ, eadem est ac ratio
trilineorum ad differentiam, quae quidem ratio, per constructionem, maior
est ratione CE ad Eα: hoc est ratione δγ ad γβ. Ergo recta εγ maior est
quam recta δγ. Dividendo itaque, erunt figurae inscriptae in arcuatis constan
tes, ad illam differentiam, ut recta εβ ad βγ. Sed β centrum gravitatis est
totius, et γ figurarum inscriptarum; ergo ε erit centrum gravitatis differen
tiae, absurdum. Non est ergo centrum gravitatis trilineorum extra rectam BE,
sed in ipsa, que e. d. ” (ibid., fol. 275, 76).
Essendosi così dunque dimostrato che il centro di gravità d'ambedue i
trilinei è sopra l'ordinata BE (rivolgendo l'occhio indietro sulla figura 234)
in E dunque, sull'asse, saranno i centri di gravità di questi, come degli altri
due trilinei a questi uguali, che son dentro l'altro spazio cicloidale: e in E,
centro della figura, sarà pure il centro di gravità del circolo intero, a cui
i detti quattro trilinei, e i due arcuati col centro comune in I, sono uguali.
Delle tre pari grandezze dunque, delle quali si compone lo spazio cicloidale,
due pendono in E, e una in I, ond'è che, se la libbra EI si divide ugual
mente in tre parti, due delle quali ne abbia IO, e la terza EO; in O sarà
il centro di gravità del tutto, ossia della Cicloide. Se poi anche ID nello stesso
modo si tripartisca, e in sei, come riman divisa questa metà, si divida pa
rimente anche l'altra metà dell'asse; è manifesto che, delle dodici parti, CO
ne contien 7, e OD 5, come già il Torricelli annunziava in principio, e in
fine alla sua dimostrazione ora conclude con queste parole:
trilinei è sopra l'ordinata BE (rivolgendo l'occhio indietro sulla figura 234)
in E dunque, sull'asse, saranno i centri di gravità di questi, come degli altri
due trilinei a questi uguali, che son dentro l'altro spazio cicloidale: e in E,
centro della figura, sarà pure il centro di gravità del circolo intero, a cui
i detti quattro trilinei, e i due arcuati col centro comune in I, sono uguali.
Delle tre pari grandezze dunque, delle quali si compone lo spazio cicloidale,
due pendono in E, e una in I, ond'è che, se la libbra EI si divide ugual
mente in tre parti, due delle quali ne abbia IO, e la terza EO; in O sarà
il centro di gravità del tutto, ossia della Cicloide. Se poi anche ID nello stesso
modo si tripartisca, e in sei, come riman divisa questa metà, si divida pa
rimente anche l'altra metà dell'asse; è manifesto che, delle dodici parti, CO
ne contien 7, e OD 5, come già il Torricelli annunziava in principio, e in
fine alla sua dimostrazione ora conclude con queste parole:
“ Praeterea, cum arcuatum FBHD aequale sit rectangulo FLED, et se
micirculus CHD eidem rectangulo aequalis sit; aequales erunt inter se tres
figurae, nempe semicirculus CHD, arcuatum FBHD, et reliqua duo trilinea
ABF, BCH simul sumpta. Secetur ED bifariam in I, et EI in tres partes
aequales EO, OP, PI: manifestum est quod centrum gravitatis arcuati FBHD
est in applicata ex puncto I, et reliquarum duarum magnitudinum, nempe
semicirculi trilineorumque, centrum gravitatis est in applicata BE, estque ar
cuatum FBHD, ad reliquas figuras, subduplum, hoc est ut EO ad OI reci
proce. Ergo centrum gravitatis compositae emicicloidis erit in applicata, quae
per O ducitur. Propterea centrum gravitatis integrae cicloidis erit ipsummet
punctum O. Quod autem CO ad OD sit ut numerus 7 ad 5, manifestum est
ex imperata divisione ” (ibid., fol. 276).
micirculus CHD eidem rectangulo aequalis sit; aequales erunt inter se tres
figurae, nempe semicirculus CHD, arcuatum FBHD, et reliqua duo trilinea
ABF, BCH simul sumpta. Secetur ED bifariam in I, et EI in tres partes
aequales EO, OP, PI: manifestum est quod centrum gravitatis arcuati FBHD
est in applicata ex puncto I, et reliquarum duarum magnitudinum, nempe
semicirculi trilineorumque, centrum gravitatis est in applicata BE, estque ar
cuatum FBHD, ad reliquas figuras, subduplum, hoc est ut EO ad OI reci
proce. Ergo centrum gravitatis compositae emicicloidis erit in applicata, quae
per O ducitur. Propterea centrum gravitatis integrae cicloidis erit ipsummet
punctum O. Quod autem CO ad OD sit ut numerus 7 ad 5, manifestum est
ex imperata divisione ” (ibid., fol. 276).