1famiglia delle parabole quadratiche o naturali. Intorno a che il Torricelli
dimostrò che, se la velocità è quadratica, la parabola che descriverebbe il
proietto è cubica: se la velocità è cubica, la parabola è biquadratica, e in
generale, se la velocità è di grado n, sarà di grado n+1 la potenza della
parabola relativa. Sebbene sia il concetto assai pellegrino, è nonostante di
molto facile dimostrazione, come apparisce dal seguente esempio, applicato al
caso della parabola cubica, premessovi questo problema per lemma:
752[Figure 752]
dimostrò che, se la velocità è quadratica, la parabola che descriverebbe il
proietto è cubica: se la velocità è cubica, la parabola è biquadratica, e in
generale, se la velocità è di grado n, sarà di grado n+1 la potenza della
parabola relativa. Sebbene sia il concetto assai pellegrino, è nonostante di
molto facile dimostrazione, come apparisce dal seguente esempio, applicato al
caso della parabola cubica, premessovi questo problema per lemma:
752[Figure 752]Figura 247.
“ Si mobile moveatur deorsum tempore AC
(fig. 247), et tempore AB, et augeatur velocitas qua
dratice, quaeritur ratio spatiorum. ”
(fig. 247), et tempore AB, et augeatur velocitas qua
dratice, quaeritur ratio spatiorum. ”
“ Dico sic: Spatia peracta habent rationem
compositam ex ratione velocitatum, et ex ratione
temporum. Sint spatia peracta AB, AC, tempora
vero DE, DF. Supponamus mobile in B et in C
converti horizontaliter. Jam impetus in B, ad im
petum in C, erit ut quadratum temporis DE, ad
quadratum DF. Ergo spatium BH, factum tempore casus AB, ad spatium CI,
factum tempore casus AC, rationem habebit compositam rectae DE ad DF,
et quadrati DE ad quadratum DF. Ergo spatium BH ad CI erit ut cubus DE
ad DF. Sed ut spatia BH, CI, ita sunt spatia AB, AC, ipsorum submultiplicia
aequaliter, ergo patet etc. ”
compositam ex ratione velocitatum, et ex ratione
temporum. Sint spatia peracta AB, AC, tempora
vero DE, DF. Supponamus mobile in B et in C
converti horizontaliter. Jam impetus in B, ad im
petum in C, erit ut quadratum temporis DE, ad
quadratum DF. Ergo spatium BH, factum tempore casus AB, ad spatium CI,
factum tempore casus AC, rationem habebit compositam rectae DE ad DF,
et quadrati DE ad quadratum DF. Ergo spatium BH ad CI erit ut cubus DE
ad DF. Sed ut spatia BH, CI, ita sunt spatia AB, AC, ipsorum submultiplicia
aequaliter, ergo patet etc. ”
“ PROPOSIZIONE XII. — Cadat mobile aliquod horizontaliter concitatum
ex plano DA (fig. 248), ita ut duos impetus habeat, alterum aequabilem
753[Figure 753]
ex plano DA (fig. 248), ita ut duos impetus habeat, alterum aequabilem
753[Figure 753]Figura 248.
horizontalem versus partes EC. alterum de
scendentem acceleratum quadratice. Dico pa
rabolam cubicam fieri. ”
horizontalem versus partes EC. alterum de
scendentem acceleratum quadratice. Dico pa
rabolam cubicam fieri. ”
“ Hoc ex dictis patet. Nam consideretur
mobile in quibuslibet punctis B, C. Cum im
petus horizontalis externus sit et aequabilis,
erunt CI, BH ut tempora casuum. Sed spatia
peracta EC, FB sunt ut cubi temporum; ergo
cubi rectarum CI, BH erunt ut EC, FB, sive
ut IA ad AH ” (ibid., T. XXXI, fol. 341).
mobile in quibuslibet punctis B, C. Cum im
petus horizontalis externus sit et aequabilis,
erunt CI, BH ut tempora casuum. Sed spatia
peracta EC, FB sunt ut cubi temporum; ergo
cubi rectarum CI, BH erunt ut EC, FB, sive
ut IA ad AH ” (ibid., T. XXXI, fol. 341).
Perchè dunque la proposta verità, dato il lemma, è patente, si può quello
stesso lemma dimostrare nella sua universalità, d'onde ne derivi la univer
salità sua anche la proposizione ora scritta. Chiamati S, S′, V, V′, T, T′ due
spazi, due varie velocità, due vari tempi, abbiamo, per le note leggi del moto,
S:S′=V.T:V′.T′. Che se l'accelerazione è lineare, ossia se V:V′=
T:T′, sarà S:S′=T2:T′2; se l'accelerazione è quadratica, e perciò V:V=
T2:T′2, sarà S:S′=T3:T′3: se poi l'accelerazione è cubica, e V:V′=
T3:T′3, sarà S:S′=T1:T′1, e in generale, se l'accelerazione è di grado n,
sarà S:S′=Tn+1n+1. Cosicchè, facendone l'applicazione alla para
bola, rappresentata dalla stessa ultima figura, sarà l'equazione di lei espressa
da AH:AI=HBn+1:ICn+1.
stesso lemma dimostrare nella sua universalità, d'onde ne derivi la univer
salità sua anche la proposizione ora scritta. Chiamati S, S′, V, V′, T, T′ due
spazi, due varie velocità, due vari tempi, abbiamo, per le note leggi del moto,
S:S′=V.T:V′.T′. Che se l'accelerazione è lineare, ossia se V:V′=
T:T′, sarà S:S′=T2:T′2; se l'accelerazione è quadratica, e perciò V:V=
T2:T′2, sarà S:S′=T3:T′3: se poi l'accelerazione è cubica, e V:V′=
T3:T′3, sarà S:S′=T1:T′1, e in generale, se l'accelerazione è di grado n,
sarà S:S′=Tn+1n+1. Cosicchè, facendone l'applicazione alla para
bola, rappresentata dalla stessa ultima figura, sarà l'equazione di lei espressa
da AH:AI=HBn+1:ICn+1.