La seconda torricelliana si sarebbe potuta perciò mettere anche sotto
quest'altra forma, dicendo che i momenti del medesimo grave, sopra i piani
AD, BD, stanno omologamente come le loro parti intersecate dal semicerchio,
d'onde il corollario bellissimo che, essendo per DF, DE gl'impeti o le velo
cità proporzionali agli spazi, i tempi sono uguali, per venire alla qual con
clusione ebbe Galileo a prepararsi la macchina di parecchie laboriose pro
posizioni.
quest'altra forma, dicendo che i momenti del medesimo grave, sopra i piani
AD, BD, stanno omologamente come le loro parti intersecate dal semicerchio,
d'onde il corollario bellissimo che, essendo per DF, DE gl'impeti o le velo
cità proporzionali agli spazi, i tempi sono uguali, per venire alla qual con
clusione ebbe Galileo a prepararsi la macchina di parecchie laboriose pro
posizioni.
Ma la presente intenzione del Nostro era, come si diceva, quella di
dimostrar che i momenti son proporzionali ai seni degli angoli delle eleva
zioni. Forse la dimostrazione era la medesima o simile, che nel lemma pre
messo alla proposizione IV (Op. geom. cit., pag. 106), ma più facile e più
diretta sovviene dal considerar l'uguaglianza del triangolo HID (nella fatta
costruzione) col CED, e del GMD col DFC, d'onde il lato ED viene a dimo
strarsi uguale a LH, seno dell'angolo LDH, o del suo uguale DAC, secondo
cui s'inclina il piano AD sopra l'orizontale AC; e il lato FD uguale al lato
GM, seno di MDG, o del suo uguale DBC, angolo dell'inclinazione dell'al
tro piano.
dimostrar che i momenti son proporzionali ai seni degli angoli delle eleva
zioni. Forse la dimostrazione era la medesima o simile, che nel lemma pre
messo alla proposizione IV (Op. geom. cit., pag. 106), ma più facile e più
diretta sovviene dal considerar l'uguaglianza del triangolo HID (nella fatta
costruzione) col CED, e del GMD col DFC, d'onde il lato ED viene a dimo
strarsi uguale a LH, seno dell'angolo LDH, o del suo uguale DAC, secondo
cui s'inclina il piano AD sopra l'orizontale AC; e il lato FD uguale al lato
GM, seno di MDG, o del suo uguale DBC, angolo dell'inclinazione dell'al
tro piano.
A così fatte dimostrazioni, mancanti nel manoscritto, pensò di supplir
di buon'ora il Viviani, il quale ordinò così quella, che, fra le occorseci in
questo proposito, si contrassegna da noi per la proposizione prima.
di buon'ora il Viviani, il quale ordinò così quella, che, fra le occorseci in
questo proposito, si contrassegna da noi per la proposizione prima.
“ PROPOSIZIONE I. — Momenta gravium aequalium super plana DA,
DB (nella medesima figura), sunt ut sinus angulorum elevationis. ”
DB (nella medesima figura), sunt ut sinus angulorum elevationis. ”
“ Quod, per primum, momenta gravium aequalium super plana DA, DB,
de quibus Auctor loquitur, sint inter se ut ipsorum segmenta ED, FD, in
semicirculo DEC inscripta, dum sit DC ad horizontalem AC perpendicula
ris; patet sic: Nam iunctis CE, CF, rectangula ADE, BDF inter se sunt ae
qualia, utrumque enim aequatur quadrato diametri DC. Quare ut BD ad DA,
ita est ED ad DF. Sed ut BD ad DA, ita est reciproce momentum gravis
super DA, ad momentum aequalis gravis super DB, per secundam proposi
tionem eiusdem libri primi De motu; ergo ut ED ad DF, ita est momen
tum super DA, ad momentum super DB. ”
de quibus Auctor loquitur, sint inter se ut ipsorum segmenta ED, FD, in
semicirculo DEC inscripta, dum sit DC ad horizontalem AC perpendicula
ris; patet sic: Nam iunctis CE, CF, rectangula ADE, BDF inter se sunt ae
qualia, utrumque enim aequatur quadrato diametri DC. Quare ut BD ad DA,
ita est ED ad DF. Sed ut BD ad DA, ita est reciproce momentum gravis
super DA, ad momentum aequalis gravis super DB, per secundam proposi
tionem eiusdem libri primi De motu; ergo ut ED ad DF, ita est momen
tum super DA, ad momentum super DB. ”
“ Insuper, quod ipsae DE, DF sint sinus angulorum elevationis DAC,
DBC, ita ostenditur: Descripto enim, ex centro D, ac intervallo DC, qua
drante circuli DCI, secante plana in G, H, atque ex GH ductis GM, HL, si
nubus angulorum GDI, HDI, vel sibi aequalium DBC, DAC; hi aequantur
ipsis inscriptis DF, DE, singuli singulis, quoniam, in triangulis DLH, CED,
angulus LDH, a tangente et secante constitutus, aequatur angulo in alterna
portione ECD: anguli ad M, E sunt recti, latus vero DH aequatur lateri DC,
cum utrumque sit radius quadrantis; ideoque et latus HL aequatur lateri DE.
Eademque ratione GM aequale ipsi DF, quod supererat, demonstratur ” (ibid.,
T. XXXVII, fol. 93).
DBC, ita ostenditur: Descripto enim, ex centro D, ac intervallo DC, qua
drante circuli DCI, secante plana in G, H, atque ex GH ductis GM, HL, si
nubus angulorum GDI, HDI, vel sibi aequalium DBC, DAC; hi aequantur
ipsis inscriptis DF, DE, singuli singulis, quoniam, in triangulis DLH, CED,
angulus LDH, a tangente et secante constitutus, aequatur angulo in alterna
portione ECD: anguli ad M, E sunt recti, latus vero DH aequatur lateri DC,
cum utrumque sit radius quadrantis; ideoque et latus HL aequatur lateri DE.
Eademque ratione GM aequale ipsi DF, quod supererat, demonstratur ” (ibid.,
T. XXXVII, fol. 93).
Di qui si conclude, intendendo significato con Mo il momento, e riferen-