TEOREMA III. — Del frusto che riman del cono, segato per un piano
erettamente condotto sulla metà dell'asse, il centro di gravità divide la
porzion di esso asse in modo, che la parte verso la base minore sia a quella
verso la base maggiore, come 17 a 11.
erettamente condotto sulla metà dell'asse, il centro di gravità divide la
porzion di esso asse in modo, che la parte verso la base minore sia a quella
verso la base maggiore, come 17 a 11.
Rappresentando, sempre nella medesima figura, VCQ il cono, di cui il
centro di gravità X sia, per le note regole, già determinato; apparirà in FQ
il tronco proposto, sull'asse HO del quale vuole ora indicarsi il luogo Z del
centro. Essendo CVQ=πVQ2.OC/3=4πFH2.2CH/3; CFG=πFH2.CH/3,
avremo CVQ:CFG=8:1. E, dividendo, CVQ—CFG:CFG=7:1, co
sicchè il frusto applicato in Z essendo settuplo del cono applicato in T, verrà
la libbra TZ, col sostegno in Z, a esser divisa talmente, da aversi ZX:XT=
1:7; ossia ZX=XT/7. Suppongasi ora diviso tutto l'asse CO in 56 parti
uguali: sarà HO=CH=28; XH=14; HT=7; XT=21; XZ=3.
Dunque HZ=HX+ZX=14+3=17; ZO=HO—HZ=28—17=
11, e perciò HZ:OZ=17:11, com'era proposto.
centro di gravità X sia, per le note regole, già determinato; apparirà in FQ
il tronco proposto, sull'asse HO del quale vuole ora indicarsi il luogo Z del
centro. Essendo CVQ=πVQ2.OC/3=4πFH2.2CH/3; CFG=πFH2.CH/3,
avremo CVQ:CFG=8:1. E, dividendo, CVQ—CFG:CFG=7:1, co
sicchè il frusto applicato in Z essendo settuplo del cono applicato in T, verrà
la libbra TZ, col sostegno in Z, a esser divisa talmente, da aversi ZX:XT=
1:7; ossia ZX=XT/7. Suppongasi ora diviso tutto l'asse CO in 56 parti
uguali: sarà HO=CH=28; XH=14; HT=7; XT=21; XZ=3.
Dunque HZ=HX+ZX=14+3=17; ZO=HO—HZ=28—17=
11, e perciò HZ:OZ=17:11, com'era proposto.
Vuole omologamente il Nardi far osservare che ě incluso anche questo
caso nella generalità, proposta in ultimo luogo da Galileo nell'Appendice dei
centri di gravità (Alb. XIII, 286), sotto la forma
HZ:ZO=2πVO2+πFH2+2πVO.FH:3πFH2+πVO2+πVO.FH.
Dividendo infatti la seconda ragione per π, fatto VO=2, e sostituiti i valori,
avremo HZ:ZO=12+1+4:3+4+4=17:11. Ma è bene prose
guire di là, dove fu da noi lasciato interrotto, a trascrivere il manoscritto,
per vedervi i due teoremi dimostrati nelle loro forme originali.
caso nella generalità, proposta in ultimo luogo da Galileo nell'Appendice dei
centri di gravità (Alb. XIII, 286), sotto la forma
HZ:ZO=2πVO2+πFH2+2πVO.FH:3πFH2+πVO2+πVO.FH.
Dividendo infatti la seconda ragione per π, fatto VO=2, e sostituiti i valori,
avremo HZ:ZO=12+1+4:3+4+4=17:11. Ma è bene prose
guire di là, dove fu da noi lasciato interrotto, a trascrivere il manoscritto,
per vedervi i due teoremi dimostrati nelle loro forme originali.
“ Per trovare il centro del cono, soggiunge il Nardi, altri si potrà incam
minare con proporzional metodo: e qui solo noterò che, nel trapezio FGQV,
il centro di gravità, posto per ora Z, divide HO con tal ragione, che ZH ad
OZ sia come il doppio di VQ con FG al doppio di EG con Vque Imperocchè,
tolto dal triangolo CVQ l'altro FCG, sarà XZ all'aggregato di XH, HT, posto
T centro del triangolo FCG, come il triangolo FCG al trapezio VFGque cioè
come uno a tre. E così OZ ad HZ sarà come quattro a cinque, cosicchè,
posto HT tre, XH tre, sarà l'aggregato sei, e ZX due. Ma posto VQ quat
tro, sarà il suo doppio otto. Ed aggiuntoli FG due, sarà dieci. Qual somma,
al doppio di FG, cioè a quattro e a VQ quattro ha la ragione di cinque a
quattro. ”
minare con proporzional metodo: e qui solo noterò che, nel trapezio FGQV,
il centro di gravità, posto per ora Z, divide HO con tal ragione, che ZH ad
OZ sia come il doppio di VQ con FG al doppio di EG con Vque Imperocchè,
tolto dal triangolo CVQ l'altro FCG, sarà XZ all'aggregato di XH, HT, posto
T centro del triangolo FCG, come il triangolo FCG al trapezio VFGque cioè
come uno a tre. E così OZ ad HZ sarà come quattro a cinque, cosicchè,
posto HT tre, XH tre, sarà l'aggregato sei, e ZX due. Ma posto VQ quat
tro, sarà il suo doppio otto. Ed aggiuntoli FG due, sarà dieci. Qual somma,
al doppio di FG, cioè a quattro e a VQ quattro ha la ragione di cinque a
quattro. ”
“ Anche raccorrassi che del frusto solido VFGQ il centro Z divide HO
in modo, che ZH a ZO sia come il triplo del cerchio, di cui diametro VQ,
col cerchio, di cui diametro FG, e con due proporzionali di mezzo, al triplo
del cerchio di FG, col cerchio di VQ, e con due di mezzo, qual proporzione
è di 17 a 11, come qui si vede: ”
in modo, che ZH a ZO sia come il triplo del cerchio, di cui diametro VQ,
col cerchio, di cui diametro FG, e con due proporzionali di mezzo, al triplo
del cerchio di FG, col cerchio di VQ, e con due di mezzo, qual proporzione
è di 17 a 11, come qui si vede: ”