1streremo DB2:BE2=QV2:VO2, e così sarà vero passando a ricercare le
altre parti. Ora essendo ai quadrati de'raggi de'circoli proporzionali i set
tori, e ai quadrati de'raggi delle basi proporzionali i cilindri ugualmente alti,
si potrà concluderne che ciascun settore circoscritto sta al corrispondente,
inscritto nella spirale, come ciascun cilindro circoscritto sta all'inscritto nel
triangolo KNL, rivolgendosi i rettangoli genitori intorno all'asse NL. E perchè
in tutte le proporzionali così dimostrate i primi e i terzi termini sono uguali,
staranno dunque le somme dei settori ai settori come le somme dei cilindri
ai cilindri, ossia la superficie del circolo, alla somma dei settori inscritti nella
spirale, come il cilindro del rettangolo NP, alla somma de'cilindri, de'quali
si costruisce il conoide gradinato. Supponendo poi Pappo che sian prese così
minime le divisioni, da sparire i trilinei FGA, EHF .... e le addentellature
KMZ, ZXO .... riduce in ultimo la proporzione a dire: circulum, ad eam
figuram, quae inter lineam spiralem et rectam AB intercipitur, ita esse
ut cylindrus ad conum (editio cit., pag. 84) cioè come tre a uno. Nella qual
supposizione vide il Nardi il metodo degl'indivisibili nascosto come in un nido,
da cui, incubato sotto le ali del suo proprio ingegno, vide con lieta maravi
glia uscirne un modo nuovo di quadrar la parabola.
altre parti. Ora essendo ai quadrati de'raggi de'circoli proporzionali i set
tori, e ai quadrati de'raggi delle basi proporzionali i cilindri ugualmente alti,
si potrà concluderne che ciascun settore circoscritto sta al corrispondente,
inscritto nella spirale, come ciascun cilindro circoscritto sta all'inscritto nel
triangolo KNL, rivolgendosi i rettangoli genitori intorno all'asse NL. E perchè
in tutte le proporzionali così dimostrate i primi e i terzi termini sono uguali,
staranno dunque le somme dei settori ai settori come le somme dei cilindri
ai cilindri, ossia la superficie del circolo, alla somma dei settori inscritti nella
spirale, come il cilindro del rettangolo NP, alla somma de'cilindri, de'quali
si costruisce il conoide gradinato. Supponendo poi Pappo che sian prese così
minime le divisioni, da sparire i trilinei FGA, EHF .... e le addentellature
KMZ, ZXO .... riduce in ultimo la proporzione a dire: circulum, ad eam
figuram, quae inter lineam spiralem et rectam AB intercipitur, ita esse
ut cylindrus ad conum (editio cit., pag. 84) cioè come tre a uno. Nella qual
supposizione vide il Nardi il metodo degl'indivisibili nascosto come in un nido,
da cui, incubato sotto le ali del suo proprio ingegno, vide con lieta maravi
glia uscirne un modo nuovo di quadrar la parabola.
Sia la mezza figura 293 intorno al diametro AO, e sopra la base OX,
con la quale e col centro in O sia descritto il quadrante OCX, a cui e alla
semiparabola circoscrivansi i rettangoli OL, OM. Presa una minima parte
AD, si conduca da D una parallela ad AO, e si prolunghi in I. Dai punti
poi E, H, ne'quali la detta linea incontra le due curve, si conducano ordinata
mente FE, GH. Avremo OD:OE=DR:RE=AO:RE=OX2:OX.RX=
OC2:RH2=πOC2:πRH2. E perciò OD:OE=πOC2.OR:πRH2.OR.
798[Figure 798]
con la quale e col centro in O sia descritto il quadrante OCX, a cui e alla
semiparabola circoscrivansi i rettangoli OL, OM. Presa una minima parte
AD, si conduca da D una parallela ad AO, e si prolunghi in I. Dai punti
poi E, H, ne'quali la detta linea incontra le due curve, si conducano ordinata
mente FE, GH. Avremo OD:OE=DR:RE=AO:RE=OX2:OX.RX=
OC2:RH2=πOC2:πRH2. E perciò OD:OE=πOC2.OR:πRH2.OR.
798[Figure 798]
Figura 293.
E così per tutte le altre infinite divisioni saranno simili
proporzionalità fra i rettangoli della figura superiore e i
cilindri della inferiore, supponendo questa rivolgersi intorno
alla linea OX come a suo proprio asse. Ora, osservando
che in ognuna delle dette proporzionalità i primi e i terzi
termini sono uguali, avremo la somma di tutti i rettangoli,
ai rettangoli, come la somma di tutti i cilindri ai cilindri;
ossia il rèttangolo OM, alla semiparabola, come il cilindro
all'emisfero, che vuol dire, come tre a due. Ma ascoltiamo
il Nardi, che non solamente discorre così, ma aggiunge altre
importanti notizie al suo discorso.
E così per tutte le altre infinite divisioni saranno simili
proporzionalità fra i rettangoli della figura superiore e i
cilindri della inferiore, supponendo questa rivolgersi intorno
alla linea OX come a suo proprio asse. Ora, osservando
che in ognuna delle dette proporzionalità i primi e i terzi
termini sono uguali, avremo la somma di tutti i rettangoli,
ai rettangoli, come la somma di tutti i cilindri ai cilindri;
ossia il rèttangolo OM, alla semiparabola, come il cilindro
all'emisfero, che vuol dire, come tre a due. Ma ascoltiamo
il Nardi, che non solamente discorre così, ma aggiunge altre
importanti notizie al suo discorso.
“ Una pellegrina dimostrazione di Pappo, ove egli, con
l'aiuto dei solidi e col ridurli occultamente agl'indivisibili,
prova la ragione del cerchio allo spazio elico, mi diede oc
casione, per la conformità dei soggetti, di pensar con lo
stesso metodo alla ragione di un rettilineo alla parabola, il che felicemente
successemi. ”
l'aiuto dei solidi e col ridurli occultamente agl'indivisibili,
prova la ragione del cerchio allo spazio elico, mi diede oc
casione, per la conformità dei soggetti, di pensar con lo
stesso metodo alla ragione di un rettilineo alla parabola, il che felicemente
successemi. ”