1medesimo tempo “ ut ergo omnes tangentes curvae AF ad omnes tangentes
arcus IMF, sic ipsa curva AF ad ipsum arcum IMF (pag. 341).
arcus IMF, sic ipsa curva AF ad ipsum arcum IMF (pag. 341).
A instituire i terzo principio, essendo FG tangente al circolo nel punto
F, FH tangente alla curva, e perciò resultante del moto, si conducano il rag
gio FL, e la corda FI. I triangoli simili FGH, FLI danno FH ad FG, come
IF ad FL. Se ora intendansi fatte nell'arco IMF, e nella porzione di curva
AF, le medesime infinite divisioni, e, condotte le medesime infinite tangenti,
se ne prenda le somme; ne concluderemo, con l'Autore, per terzo principio,
“ chordas illas omnes simul sumptas, ad radium FL toties sumptum, sic se
habere, ut omnes tangentes curvae AF simul, ad omnes tangentes arcus IMF
simul, hoc est, per secundum notatum, ut curva ipsa AF, ad arcum ipsum
IMF ” (pag. 341).
F, FH tangente alla curva, e perciò resultante del moto, si conducano il rag
gio FL, e la corda FI. I triangoli simili FGH, FLI danno FH ad FG, come
IF ad FL. Se ora intendansi fatte nell'arco IMF, e nella porzione di curva
AF, le medesime infinite divisioni, e, condotte le medesime infinite tangenti,
se ne prenda le somme; ne concluderemo, con l'Autore, per terzo principio,
“ chordas illas omnes simul sumptas, ad radium FL toties sumptum, sic se
habere, ut omnes tangentes curvae AF simul, ad omnes tangentes arcus IMF
simul, hoc est, per secundum notatum, ut curva ipsa AF, ad arcum ipsum
IMF ” (pag. 341).
Premonstrati i quali principii, così facilmente si conduce il Roberval alla
desiderata conclusione. Dagli infiniti punti di divisione dell'arco IM, metà di
IMF, si conducano sul raggio LI gl'infiniti seni retti corrispondenti, ciascun
de'quali essendo la metà della corda, la metà pure sarà quella di questa loro
somma. Se perciò si chiamino s.r i seni retti, e le corde, e con Ŗ si signi
fichi la loro somma, avremo 2Ŗs.r=Ŗc. E se con Ŗr si rappresenti la
somma dei raggi, sarà, per il terzo premesso principio, Ŗc:Ŗr=AF:IMF=
2Ŗs.r:Ŗr. E perchè, per il primo degli stessi premessi principii, Ŗs.r:Ŗr=
IQ:IM, ossia 2Ŗs.r:Ŗr=2IQ:IM; dunque AF:IMF=2IQ:IM=
4IQ:2IM=4IQ:IMF, ond'è veramente AF=4Iq.
desiderata conclusione. Dagli infiniti punti di divisione dell'arco IM, metà di
IMF, si conducano sul raggio LI gl'infiniti seni retti corrispondenti, ciascun
de'quali essendo la metà della corda, la metà pure sarà quella di questa loro
somma. Se perciò si chiamino s.r i seni retti, e le corde, e con Ŗ si signi
fichi la loro somma, avremo 2Ŗs.r=Ŗc. E se con Ŗr si rappresenti la
somma dei raggi, sarà, per il terzo premesso principio, Ŗc:Ŗr=AF:IMF=
2Ŗs.r:Ŗr. E perchè, per il primo degli stessi premessi principii, Ŗs.r:Ŗr=
IQ:IM, ossia 2Ŗs.r:Ŗr=2IQ:IM; dunque AF:IMF=2IQ:IM=
4IQ:2IM=4IQ:IMF, ond'è veramente AF=4Iq.
Potendosi ora una tale dimostrazione applicare a qualunque punto della
mezza Cicloide, comunque sia dall'origine A distante, supponiamo che il dato
punto sia D. Troveremo ancora, col medesimo processo, AFD=4IL=2IH,
ciò che vuol dire essere, così com'era il proposito di dimostrare, la mezza
Cicloide doppia al diametro del circolo genitore.
mezza Cicloide, comunque sia dall'origine A distante, supponiamo che il dato
punto sia D. Troveremo ancora, col medesimo processo, AFD=4IL=2IH,
ciò che vuol dire essere, così com'era il proposito di dimostrare, la mezza
Cicloide doppia al diametro del circolo genitore.
Corollario. — Diviso l'arco IR nel mezzo in P, come nel mezzo M è
stato diviso l'arco IF, e condotte le due corde FP, RM, è facile vedere che
queste s'intersecheranno fra loro e col diametro HI nel punto T, in modo
che sia HF=HT=HI—IT=HI—2IQ, d'onde 2HF+4IQ=2HI=
AFD, essendo la semicicloide, per le cose già dimostrate, uguale al doppio del
diametro. E perch'è stato altresì dimostrato che la porzione AF è uguale al
quadruplo del seno verso IQ, dunque 2HF=AFD—AF=DF, ciò che
vuol dire essere ogni porzione, presa dal vertice, uguale al doppio della tan
gente. Così il Wallis, quell'Anglus vir doctissimus, qui et praelo per se,
vel per amicos suo nomine vulgavit (pag. 344), formulò la seconda parte
della proposiz. XXII, nel cap. V della sua Mechanica: “ Curvae semicycloi
dis portio quaevis, ad verticem terminata, est dupla subtensae corresponden
tis arcus circuli genitoris ” (Londini 1741, pag. 424).
stato diviso l'arco IF, e condotte le due corde FP, RM, è facile vedere che
queste s'intersecheranno fra loro e col diametro HI nel punto T, in modo
che sia HF=HT=HI—IT=HI—2IQ, d'onde 2HF+4IQ=2HI=
AFD, essendo la semicicloide, per le cose già dimostrate, uguale al doppio del
diametro. E perch'è stato altresì dimostrato che la porzione AF è uguale al
quadruplo del seno verso IQ, dunque 2HF=AFD—AF=DF, ciò che
vuol dire essere ogni porzione, presa dal vertice, uguale al doppio della tan
gente. Così il Wallis, quell'Anglus vir doctissimus, qui et praelo per se,
vel per amicos suo nomine vulgavit (pag. 344), formulò la seconda parte
della proposiz. XXII, nel cap. V della sua Mechanica: “ Curvae semicycloi
dis portio quaevis, ad verticem terminata, est dupla subtensae corresponden
tis arcus circuli genitoris ” (Londini 1741, pag. 424).
“ PROPOSITIO II. — In rota simplici spatium trochoidis triplum est
eiusdem rotae ” (Ouvr. cit., pag. 310).
eiusdem rotae ” (Ouvr. cit., pag. 310).
La facilità della dimostrazione dipende dall'invenzion di quella curva,
che il Roberval chiamava la Compagne de la roulette, e noi la Comite della
che il Roberval chiamava la Compagne de la roulette, e noi la Comite della