1dunque C=πSO(SO+TP...) e perciò A:C=QM+VN...:SO+TP...
Ma di questa seconda ragione il primo termine è la somma di tutte le linee,
che intessono il circolo, e il secondo è la somma di tutte le linee, che intes
sono il quadrato; dunque i solidi rotondi stanno come le figure.
Ma di questa seconda ragione il primo termine è la somma di tutte le linee,
che intessono il circolo, e il secondo è la somma di tutte le linee, che intes
sono il quadrato; dunque i solidi rotondi stanno come le figure.
Tale dimostrazione però non s'adatta che al circolo, o a figure segate
dall'AB in due parti, non solamente uguali, ma simmetriche intorno all'asse.
Però volendo il Roberval dare dimostrazione più generale, applicabile a qua
lunque figura divisa in due parti uguali, o simmetriche o no intorno all'asse,
procede in quest'altra maniera, considerando l'armilla QM composta delle due
parti IM, IQ, quella uguale a πIS2—πSM2, questa uguale a πSQ2—πSI2.
Si tratta ora di riunire insieme queste due armille, al quale intento si giunge
così, abbreviando la via tenuta dall'Autore:
dall'AB in due parti, non solamente uguali, ma simmetriche intorno all'asse.
Però volendo il Roberval dare dimostrazione più generale, applicabile a qua
lunque figura divisa in due parti uguali, o simmetriche o no intorno all'asse,
procede in quest'altra maniera, considerando l'armilla QM composta delle due
parti IM, IQ, quella uguale a πIS2—πSM2, questa uguale a πSQ2—πSI2.
Si tratta ora di riunire insieme queste due armille, al quale intento si giunge
così, abbreviando la via tenuta dall'Autore:
IS2—SM2=MI2+2IM.MS=MI(MI+MS)+IM.MS=
MI.IS+IM.MS, onde (*) IS2—SM2+IQ2=MI.IS+IM.MS+IQ2=
MI.IS+MI.MS+MI2=MI.IS+MI(MS+MI)=MI.IS+MI.IS=
2MI.IS. Abbiamo inoltre SQ2—SI2—IQ2=2SI.IQ=2SI.IM, la quale,
sommata con quella notata sopra con asterisco, darà IS2—SM2+SQ2—SI2=
4SI.IM. Troveremo nello stesso modo TK2—TN2+TV2—TK2=4TK.NK
e così di tutte le altre infinite armille, che sommate insieme comporranno l'anello
A=πSI(IM+KN...)=2πSI2(IM+KN...)=πSO(MQ+NV...).
MI.IS+IM.MS, onde (*) IS2—SM2+IQ2=MI.IS+IM.MS+IQ2=
MI.IS+MI.MS+MI2=MI.IS+MI(MS+MI)=MI.IS+MI.IS=
2MI.IS. Abbiamo inoltre SQ2—SI2—IQ2=2SI.IQ=2SI.IM, la quale,
sommata con quella notata sopra con asterisco, darà IS2—SM2+SQ2—SI2=
4SI.IM. Troveremo nello stesso modo TK2—TN2+TV2—TK2=4TK.NK
e così di tutte le altre infinite armille, che sommate insieme comporranno l'anello
A=πSI(IM+KN...)=2πSI2(IM+KN...)=πSO(MQ+NV...).
Venendo ai circoli, quello descritto da SO sarà πSO2; quello descritto
da TP=πTP2, e così di tutti gli altri infiniti, i quali sommati insieme
comporranno il cilindro C=πSO(SO+TP...), onde
da TP=πTP2, e così di tutti gli altri infiniti, i quali sommati insieme
comporranno il cilindro C=πSO(SO+TP...), onde
A:C=MQ+NV...:SO+TP...
Ma nel secondo membro di questa equazione il primo termine è la somma
di tutte le infinite linee tessenti il circolo, il secondo la somma di tutte le
infinite linee tessenti il rettangolo; dunque l'anello sta al cilindro, come il
circolo al rettangolo circoscritto.
Ma nel secondo membro di questa equazione il primo termine è la somma
di tutte le infinite linee tessenti il circolo, il secondo la somma di tutte le
infinite linee tessenti il rettangolo; dunque l'anello sta al cilindro, come il
circolo al rettangolo circoscritto.
Corollario I. — Qualunque sia la figura inscritta nel rettangolo, purchè
venga dalla linea AB, parallela all'asse di rotazione, segata in due parti
uguali, com'esso rettangolo; i solidi rotondi saranno sempre proporzionali
ai piani da cui son generati.
venga dalla linea AB, parallela all'asse di rotazione, segata in due parti
uguali, com'esso rettangolo; i solidi rotondi saranno sempre proporzionali
ai piani da cui son generati.
Scolio. — “ Nous trouverons la mesme chose en faisant tourner toute
la figure sur la ligne YZ ” (pag. 224) e tirate le sezioni come dianzi, per
esempio la UO, si dimostra dall'Autore in simile modo che “ le quadruple
du rectangle UIO sera au quarré de EY comme le cylindre, ou plutost le
rouleau GEFH, est au cylindre total EGZY ” (ivi, pag. 225).
la figure sur la ligne YZ ” (pag. 224) e tirate le sezioni come dianzi, per
esempio la UO, si dimostra dall'Autore in simile modo che “ le quadruple
du rectangle UIO sera au quarré de EY comme le cylindre, ou plutost le
rouleau GEFH, est au cylindre total EGZY ” (ivi, pag. 225).
Se dunque son vere le cose dimostrate, anche quando l'asse della rivo
luzione sia una parallela a HF, come per esempio ZY, chiamato Ro il rotondo,
che descrive il parallelogrammo Po, e Ao l'anello descritto dal circolo Co;
avremo Ro:Ao=Po:Co. Moltiplicando la seconda ragione per 2πLP,
ossia per la circonferenza descritta dal raggio LR, sarà
luzione sia una parallela a HF, come per esempio ZY, chiamato Ro il rotondo,
che descrive il parallelogrammo Po, e Ao l'anello descritto dal circolo Co;
avremo Ro:Ao=Po:Co. Moltiplicando la seconda ragione per 2πLP,
ossia per la circonferenza descritta dal raggio LR, sarà