Anche il centro di gravità della callotta sferica era stato ritrovato dal
Torricelli per la sola parte curva della figura, escluso il circolo base, ma il
Viviani passò oltre a indicarne così il punto sull'asse, dove gravita la su
perficie universale.
Torricelli per la sola parte curva della figura, escluso il circolo base, ma il
Viviani passò oltre a indicarne così il punto sull'asse, dove gravita la su
perficie universale.
“ PROPOSITIO III. — Centrum gravitatis universae superficiei portionis
sphaericae sic dividit axem, ut pars ad polum terminata sit ad reliquam,
ut axis portionis reliquae, cum semiaxe sphaerae, ad ipsum semiaxem:
817[Figure 817]
sphaericae sic dividit axem, ut pars ad polum terminata sit ad reliquam,
ut axis portionis reliquae, cum semiaxe sphaerae, ad ipsum semiaxem:
817[Figure 817]Figura 312.
vel, ut duplum basis portionis sphaericae, una cum
eius curva superficie, ad ipsam curvam. ”
vel, ut duplum basis portionis sphaericae, una cum
eius curva superficie, ad ipsam curvam. ”
“ Esto ABC (fig. 312) sphaerae portio, cuius
axis BD, diameter basis AC, et axis totius sphaerae
BE. Jam constat quod, secto BD bifariam in F, id
est centrum gravitatis curvae superficiei ABC. Sed D
est centrum circuli AC, ergo utriusque simul super
ficiei centrum gravitatis est inter F et D, ut in G.
Dico BG ad GD esse ut axis DE, cum dimidio axis
EB, ad ipsum dimidium. ”
axis BD, diameter basis AC, et axis totius sphaerae
BE. Jam constat quod, secto BD bifariam in F, id
est centrum gravitatis curvae superficiei ABC. Sed D
est centrum circuli AC, ergo utriusque simul super
ficiei centrum gravitatis est inter F et D, ut in G.
Dico BG ad GD esse ut axis DE, cum dimidio axis
EB, ad ipsum dimidium. ”
“ Jungantur AB, AE. Erit ergo, ob aequilibrium in G curvae ABC cum
circulo AC, FG ad GD ut circulus AC ad curvam ABC, vel ut quadratum
radii DA ad quadratum radii BA, cuius circulus aequatur ipsi curvae super
ficiei ABC, vel, ob triangulorum DAB, DEA similitudinem, ut quadratum DE
ad quadratum EA, vel ut linea DE ad tertiam proportionalem EB in semi
circulo BAE. Et componendo, FD ad DG ut DE cum EB ad EB. Et divi
dendo, BG ad GD ut duplum DE cum EB ad EB, vel, sumptis horum di
midiis, ut una DE cum dimidio EB, seu cum semiaxe sphaerae, ad dimidium
EB, vel ad ipsum semiaxem, quod erat primo etc. ” (ibid., fol. 108).
circulo AC, FG ad GD ut circulus AC ad curvam ABC, vel ut quadratum
radii DA ad quadratum radii BA, cuius circulus aequatur ipsi curvae super
ficiei ABC, vel, ob triangulorum DAB, DEA similitudinem, ut quadratum DE
ad quadratum EA, vel ut linea DE ad tertiam proportionalem EB in semi
circulo BAE. Et componendo, FD ad DG ut DE cum EB ad EB. Et divi
dendo, BG ad GD ut duplum DE cum EB ad EB, vel, sumptis horum di
midiis, ut una DE cum dimidio EB, seu cum semiaxe sphaerae, ad dimidium
EB, vel ad ipsum semiaxem, quod erat primo etc. ” (ibid., fol. 108).
Per passare al secondo modo, o alla seconda forma, sotto la quale la
medesima verità propone l'Autore a dimostrarsi, si osservi che fu già con
cluso FG:GD=DE:EB. Ma AE2=EB.ED, EB2=EB2 d'onde ED:EB=
AE2:EB2=DA2:AB2=πDA2:πAB2, e perciò FG:GD=πDA2:πAB2.
Componendo, FD:DG=πDA2+πAB2:πAB2. Duplicando gli antecedenti,
BD:DG=2πDA2+2πAB2:πAB2. E in ultimo dividendo, BG:GD=
2πDA2+πAB2:πAB2. Ora essendo la superficie di una callotta sferica
uguale al prodotto della sua altezza per la circonferenza di un circolo grande,
ossia essendo uguale a πBD.BE=πAB2, e dall'altra parte rappresentan
dosi da π DA2 il circolo descritto col raggio AD, sopra il quale la cupola
risiede; è manifesto che il punto G sega così l'asse, che la parte verso il polo
abbia alla rimanente la proporzion medesima, che la doppia base con la callotta
ha alla callotta sola, secondo che così il Viviani soggiunge nel suo foglio:
medesima verità propone l'Autore a dimostrarsi, si osservi che fu già con
cluso FG:GD=DE:EB. Ma AE2=EB.ED, EB2=EB2 d'onde ED:EB=
AE2:EB2=DA2:AB2=πDA2:πAB2, e perciò FG:GD=πDA2:πAB2.
Componendo, FD:DG=πDA2+πAB2:πAB2. Duplicando gli antecedenti,
BD:DG=2πDA2+2πAB2:πAB2. E in ultimo dividendo, BG:GD=
2πDA2+πAB2:πAB2. Ora essendo la superficie di una callotta sferica
uguale al prodotto della sua altezza per la circonferenza di un circolo grande,
ossia essendo uguale a πBD.BE=πAB2, e dall'altra parte rappresentan
dosi da π DA2 il circolo descritto col raggio AD, sopra il quale la cupola
risiede; è manifesto che il punto G sega così l'asse, che la parte verso il polo
abbia alla rimanente la proporzion medesima, che la doppia base con la callotta
ha alla callotta sola, secondo che così il Viviani soggiunge nel suo foglio:
“ Sed DE ad EB est ut quadratum AE ad quadratum EB, vel ut qua
dratum DA ad quadratum AB, vel ut circulus ex radio DA seu basis por
tionis ABC, ad circulum ex radio AB, vel ad curvam superficiem portionis;
ergo BG ad GD est quoque ut duae bases portionis sphaericae ABC, cum
curva eius superficie, ad ipsam curvam ” (ibid.).
dratum DA ad quadratum AB, vel ut circulus ex radio DA seu basis por
tionis ABC, ad circulum ex radio AB, vel ad curvam superficiem portionis;
ergo BG ad GD est quoque ut duae bases portionis sphaericae ABC, cum
curva eius superficie, ad ipsam curvam ” (ibid.).