Monſtrum
mirabile.
mirabile.
Nauim quo
modo quot
paſſuum M.
exegerit, vel
ploſtrum de
prehenda
mus.
modo quot
paſſuum M.
exegerit, vel
ploſtrum de
prehenda
mus.
Meteoroſco
pium.
pium.
Sit igitur meridiei circulus AEBF, fixus
ſuper pede AM. In eo poli fingantur KF, &
vertex tuus E. Alius circulus immobilis
æquinoctij ACBD, fixus ſuper pedem AM,
& ad rectos angulos ſecans priorem circu
152[Figure 152]
lum AKBF. Sit alius circulus FGHK per
polos, & in ipſis polis F & K, per paxillos
verſatilis C E D L. Sit igitur diſtantia EN,
nota rectáque, numerentur autem diuiſis
ſingulis circulis ex his in partes ter mille
ſexcentas, partes illæ in C E D per EN, &
conſtituatur C N D, ſuper viam rectam ex
ciuitate tua in N locum, & vbi punctus N,
cadit, ducatur CKHF, circulus mobilis me
ridiei. Habebis igitur per arcum KN latitu
dinem loci, ſeu poli eleuationem, & per GC
differentiam longitudinis loci N à tua vr
be: cúmque longitudo vrbis tuæ iam nota
ſit, erit & longitudo N. Quòd ſi altitudo N
nota fuerit, & iter rectum EN, circumdu
ctis circulis CED & GNH, donec occurrant
extrema arcuum EN diſtantiæ rectæ, & KN
notæ altitudinis loci N in vnum, fiet arcus
tunc GC notus, differentia ſcilicet longitu
dinis loci N, à patria tua.
ſuper pede AM. In eo poli fingantur KF, &
vertex tuus E. Alius circulus immobilis
æquinoctij ACBD, fixus ſuper pedem AM,
& ad rectos angulos ſecans priorem circu
152[Figure 152]lum AKBF. Sit alius circulus FGHK per
polos, & in ipſis polis F & K, per paxillos
verſatilis C E D L. Sit igitur diſtantia EN,
nota rectáque, numerentur autem diuiſis
ſingulis circulis ex his in partes ter mille
ſexcentas, partes illæ in C E D per EN, &
conſtituatur C N D, ſuper viam rectam ex
ciuitate tua in N locum, & vbi punctus N,
cadit, ducatur CKHF, circulus mobilis me
ridiei. Habebis igitur per arcum KN latitu
dinem loci, ſeu poli eleuationem, & per GC
differentiam longitudinis loci N à tua vr
be: cúmque longitudo vrbis tuæ iam nota
ſit, erit & longitudo N. Quòd ſi altitudo N
nota fuerit, & iter rectum EN, circumdu
ctis circulis CED & GNH, donec occurrant
extrema arcuum EN diſtantiæ rectæ, & KN
notæ altitudinis loci N in vnum, fiet arcus
tunc GC notus, differentia ſcilicet longitu
dinis loci N, à patria tua.
Manifeſtum eſt autem, quòd contraria
ratione habitis longitudinibus, & latitudi
nibus locorum, diſtantia quoque cognita
erit. Quòd ſi velis, vt inſtrumentum vnicui
que ſeruiat regioni, facies paxillos EL, mo
biles in circulo meridiei, AKBF, vt ſub qua
cunque altitudine collocari vertex tuus poſ
ſit. Porrò diuiſiones in ſingulas denas con
ſpicuè, & in quinas minus, inde in quinqua
genas aureo colore, vt diſtinguantur dili
genter, velut in ſtateris. Numerus autem ne
ceſſarius non eſt, quia vbique principium
ſtatuere oportet. Aſſequimur etiam & iſta
demonſtratione, ſed difficiliori modo: atque
hæc ad amuſſim omnia. Quòd verò ſemper
licet melius aſſequi, eſt proportio periferiæ
circuli ad diametrum, ab Archimede mira
bili ingenio inuenta: quæ cùm facillima ſit,
eam quatuor verbis ſubſcribere placuit. Tri
bus indiget illa ſuppoſitis: primùm, quòd
circuli periferia maior eſt aggregato late
rum inſcriptæ figuræ, & minor circumſcri
ptæ. De inſcripta patet ex rectæ lineæ diffi
nitione: de circumſcripta, licet apud aliquos
videatur per ſe manifeſtum, à nobis tamen
in libris Elementorum per antiparalogiſ
mum demonſtratur. Secundum eſt, quòd no
ta quacunque linea in circulo collocata, il
lius arcus per medium diuiſi, linea recta ſub
tenſa cognita erit. Hæc licet à Ptolemæo de
monſtretur, vt tamen quiſque rationem
habeat inueniendæ propoſitæ proportio
nis, duobus verbis rem cum operatione de
clarabo.
ratione habitis longitudinibus, & latitudi
nibus locorum, diſtantia quoque cognita
erit. Quòd ſi velis, vt inſtrumentum vnicui
que ſeruiat regioni, facies paxillos EL, mo
biles in circulo meridiei, AKBF, vt ſub qua
cunque altitudine collocari vertex tuus poſ
ſit. Porrò diuiſiones in ſingulas denas con
ſpicuè, & in quinas minus, inde in quinqua
genas aureo colore, vt diſtinguantur dili
genter, velut in ſtateris. Numerus autem ne
ceſſarius non eſt, quia vbique principium
ſtatuere oportet. Aſſequimur etiam & iſta
demonſtratione, ſed difficiliori modo: atque
hæc ad amuſſim omnia. Quòd verò ſemper
licet melius aſſequi, eſt proportio periferiæ
circuli ad diametrum, ab Archimede mira
bili ingenio inuenta: quæ cùm facillima ſit,
eam quatuor verbis ſubſcribere placuit. Tri
bus indiget illa ſuppoſitis: primùm, quòd
circuli periferia maior eſt aggregato late
rum inſcriptæ figuræ, & minor circumſcri
ptæ. De inſcripta patet ex rectæ lineæ diffi
nitione: de circumſcripta, licet apud aliquos
videatur per ſe manifeſtum, à nobis tamen
in libris Elementorum per antiparalogiſ
mum demonſtratur. Secundum eſt, quòd no
ta quacunque linea in circulo collocata, il
lius arcus per medium diuiſi, linea recta ſub
tenſa cognita erit. Hæc licet à Ptolemæo de
monſtretur, vt tamen quiſque rationem
habeat inueniendæ propoſitæ proportio
nis, duobus verbis rem cum operatione de
clarabo.
Quomodo
ſciamus pro
portionem
periferiæ cir
culi ad dia
metrum.
ſciamus pro
portionem
periferiæ cir
culi ad dia
metrum.
Sit A B nota in proportione ad BC, &
diuidatur arcus AB, per æqualia in D, & du
catur AD, dico eam eſſe notam. Nam ducta
DCK, erit ex demonſtratis ab Euclide EA,
media proportione inter KE & ED, & qua
dratum DA, æquale quadratis A E & E D.
Per quintam igitur ſecundi Elementorum
Euclidis detraham quadratum A E notum,
quia AE eſt dimidium AB, ex quadrato CD
153[Figure 153]
cognito, & relinquatur quadratum CE co
gnitum: igitur CE. Quare detracta CE ex
CD, relinquetur E D cognita. Iungam igi
tur quadrata AE & E D, & per penultimam
primi Elementorum habebo quadratum AD
cognitum. Tertium ſuppoſitum eſt, quòd co
gnito latere figuræ inſcriptæ circulo, co
gnoſcam & latus circumſcribentis. Hoc li
cet colligatur ab Euclide in quarto Ele
mentorum, vt tamen habeamus demonſtra
tionem cum operatione, vno eam verbo hîc
ſubiungam. Sit latus AB inſcriptæ figuræ, &
FG circumſcriptæ, ſub eodem enim angulo
continentur centri, ducantúrque A F &
CBG. Quia igitur nota eſt AB, nota eſt AE,
ideóque K E & E D, vt demonſtratum eſt.
Sed vt CE ad CD, ita AB ad FG. Ducta igi
tur AB in CD, & quod producitur diuiſo
per CE, exit FG cognita. Suppoſito igitur
AB latere hexagoni, quod per demonſtrata
ab Euclide eſt æquale dimidio diametri, per
ſecundum ſuppoſitum habebo latus figuræ
duodecim baſium, & per eandem figuræ 24.
baſium, inde 48. inde 96. inde 192. & 384. &
768. & poſſum procedere abſque errore, imò
abſque extractione radicum.
diuidatur arcus AB, per æqualia in D, & du
catur AD, dico eam eſſe notam. Nam ducta
DCK, erit ex demonſtratis ab Euclide EA,
media proportione inter KE & ED, & qua
dratum DA, æquale quadratis A E & E D.
Per quintam igitur ſecundi Elementorum
Euclidis detraham quadratum A E notum,
quia AE eſt dimidium AB, ex quadrato CD
153[Figure 153]cognito, & relinquatur quadratum CE co
gnitum: igitur CE. Quare detracta CE ex
CD, relinquetur E D cognita. Iungam igi
tur quadrata AE & E D, & per penultimam
primi Elementorum habebo quadratum AD
cognitum. Tertium ſuppoſitum eſt, quòd co
gnito latere figuræ inſcriptæ circulo, co
gnoſcam & latus circumſcribentis. Hoc li
cet colligatur ab Euclide in quarto Ele
mentorum, vt tamen habeamus demonſtra
tionem cum operatione, vno eam verbo hîc
ſubiungam. Sit latus AB inſcriptæ figuræ, &
FG circumſcriptæ, ſub eodem enim angulo
continentur centri, ducantúrque A F &
CBG. Quia igitur nota eſt AB, nota eſt AE,
ideóque K E & E D, vt demonſtratum eſt.
Sed vt CE ad CD, ita AB ad FG. Ducta igi
tur AB in CD, & quod producitur diuiſo
per CE, exit FG cognita. Suppoſito igitur
AB latere hexagoni, quod per demonſtrata
ab Euclide eſt æquale dimidio diametri, per
ſecundum ſuppoſitum habebo latus figuræ
duodecim baſium, & per eandem figuræ 24.
baſium, inde 48. inde 96. inde 192. & 384. &
768. & poſſum procedere abſque errore, imò
abſque extractione radicum.
Sit igitur gratia exempli ſtatus in latere
figuræ 768. laterum, habebo igitur per ter
tium ſuppoſitum latus figuræ 768. circum
ſcriptæ: duces vtrunque per numerum late
rum, id eſt, per 768. & habebis ambitum in
terioris, & exterioris figuræ, & proportio
nem illorum ad diametrum circuli. Sed peri
feria circuli maior eſt ambitu inſcriptæ figu
ræ, & minor circumſcriptæ, ex primo ſup
poſito igitur habebo proportionem perife
riæ circuli ad diametrum, inter quas pro
portiones debent collocari, & tamen nun
quam ad perfectam cognitionem, & metam
peruenire poteſt. Ex quo patet, Archimedem
non indiguiſſe inuentis à Ptolemæo, nec
tabulis ſinuum, exquiſitiúſque ac purius ſine
illis, quàm cum illis geometram ad hanc
figuræ 768. laterum, habebo igitur per ter
tium ſuppoſitum latus figuræ 768. circum
ſcriptæ: duces vtrunque per numerum late
rum, id eſt, per 768. & habebis ambitum in
terioris, & exterioris figuræ, & proportio
nem illorum ad diametrum circuli. Sed peri
feria circuli maior eſt ambitu inſcriptæ figu
ræ, & minor circumſcriptæ, ex primo ſup
poſito igitur habebo proportionem perife
riæ circuli ad diametrum, inter quas pro
portiones debent collocari, & tamen nun
quam ad perfectam cognitionem, & metam
peruenire poteſt. Ex quo patet, Archimedem
non indiguiſſe inuentis à Ptolemæo, nec
tabulis ſinuum, exquiſitiúſque ac purius ſine
illis, quàm cum illis geometram ad hanc