290252NOUVEAU COURS
ſurface, puiſque les trois côtés déterminent la perpendiculaire
qu’il faut multiplier par la moitié de la baſe pour avoir l’aire
du triangle (art. 411).
qu’il faut multiplier par la moitié de la baſe pour avoir l’aire
du triangle (art. 411).
PROPOSITION XVII.
Théoreme.
521.
Deux triangles quelconques B A C, E D F qui ont un
11Figure 103
& 104. angle égal, l’un en A & l’autre en D, compris entre deux côtés
quelconques, ſont entr’eux comme les produits des côtés qui con-
tiennent l’angle égal.
11Figure 103
& 104. angle égal, l’un en A & l’autre en D, compris entre deux côtés
quelconques, ſont entr’eux comme les produits des côtés qui con-
tiennent l’angle égal.
Demonstration.
Sur le côté A C du triangle B A C, ſoit priſe la partie A H
= D F, & ſur A B la ligne A L = D E, & ſoient menées les
lignes L H, B H. Les triangles L A H, E D F ayant, par hypo-
theſe, un angle égal compris entre côtés égaux, par conſtruc-
tion, ſeront égaux en tout. Cela poſé, à cauſe des triangles
A H L, A H B, qui ont même ſommet en H, & des triangles
A B H, A B C, qui ont même ſommet en B, & qui ſont en-
tr’eux dans la raiſon de leurs baſes, on aura les proportions
ſuivantes. A L H : A B H : : A L : A B, & A B H : A B C : : A H : A C;
donc en multipliant par ordre A L H x A B H : A B C x A B H : :
A L x A H, ou E D x D F: A B x A C, ou en diviſant les deux
premiers termes par la même grandeur A B H, & mettant à
la place du triangle A L H ſon égal D E F, on aura E D F :
A B C : : E D x D F : A B x A C. C. Q. F. D.
= D F, & ſur A B la ligne A L = D E, & ſoient menées les
lignes L H, B H. Les triangles L A H, E D F ayant, par hypo-
theſe, un angle égal compris entre côtés égaux, par conſtruc-
tion, ſeront égaux en tout. Cela poſé, à cauſe des triangles
A H L, A H B, qui ont même ſommet en H, & des triangles
A B H, A B C, qui ont même ſommet en B, & qui ſont en-
tr’eux dans la raiſon de leurs baſes, on aura les proportions
ſuivantes. A L H : A B H : : A L : A B, & A B H : A B C : : A H : A C;
donc en multipliant par ordre A L H x A B H : A B C x A B H : :
A L x A H, ou E D x D F: A B x A C, ou en diviſant les deux
premiers termes par la même grandeur A B H, & mettant à
la place du triangle A L H ſon égal D E F, on aura E D F :
A B C : : E D x D F : A B x A C. C. Q. F. D.
Autre démonstration.
Des ſommets B, E de chaque triangle, ſoient abaiſſées ſur
les baſes A C, D F les perpendiculaires B K, E M: les ſurfaces
des triangles étant égales aux produits des hauteurs par les
moitiés des baſes, ſeront proportionnelles aux produits des
baſes par les hauteurs, & donneront A B C: D E F : : A C x
B K : D F x E M; mais les triangles A B K, D E M ſont ſem-
blables, ayant, outre l’angle droit, un angle égal de part &
d’autre, l’angle A du premier égal à l’angle D du ſecond:
donc A B : D E : : B K : E M, ou en multipliant les deux anté-
cédens par A C, & les deux conſéquens par D F, A B x A C :
D E x D F : : B K x A C : E M x D F; mais nous venons de voir que
A B C : D E F : : B K x A C : E M x D F; donc A B C : D E F : : A B x
A C : D E x D F. C. Q. F. D.
les baſes A C, D F les perpendiculaires B K, E M: les ſurfaces
des triangles étant égales aux produits des hauteurs par les
moitiés des baſes, ſeront proportionnelles aux produits des
baſes par les hauteurs, & donneront A B C: D E F : : A C x
B K : D F x E M; mais les triangles A B K, D E M ſont ſem-
blables, ayant, outre l’angle droit, un angle égal de part &
d’autre, l’angle A du premier égal à l’angle D du ſecond:
donc A B : D E : : B K : E M, ou en multipliant les deux anté-
cédens par A C, & les deux conſéquens par D F, A B x A C :
D E x D F : : B K x A C : E M x D F; mais nous venons de voir que
A B C : D E F : : B K x A C : E M x D F; donc A B C : D E F : : A B x
A C : D E x D F. C. Q. F. D.