291285DE CREPVSCVLIS LIBER.
maioris circuli ad b c ſemidiametrum minoris b c:
ſic a h ad b h.
] Et protraham à puncto h lineam
contingẽtem circulũ a g d [per 17 p 3] quæ ſit h c d. Dico ergo, quòd ipſa contingit etiã circulũ b e z:
quod patet: quia cõtinuabo a cum d per lineam a d: ergo eſt perpendi-
250[Figure 250]d a k g e c b z h cularis ſuper lineam h d [per 18 p 3] & protraham à puncto b perpen-
dicularem ſuper lineam h c d [per 11 p 1] quæ ſit b c. Et quoniam duæ
lineæ b c, a d ſunt perpendiculares ſuper lineam h d [è fabricatione &
concluſo] ſunt æ quidiſtantes [per 28 p 1. ] Et quia linea b c eſt æqui-
diſtans ipſi a d, quæ eſt baſis trianguli: erit ergo proportio a d ad b c,
ſicut ꝓportio a h ad h b [per 4 p 6: quia triangula a h d, b h c ſunt æqui-
angula per 29. 32 p 1] & iam poſuimus proportionem a h ad h b, ſicut
proportionem medietatis diametri circuli a g d, ad medietatẽ diame-
tri b e z: ergo linea b c eſt medietas diametri circuli b e z: ergo punctũ
c eſt ſuper circumferẽtiam circuli b e z [per 17 d 1] & duos angulos ad
d & c poſuimus rectos: ergo linea h c d contingit minorem circulum
[per conſectarium 16 p 3] nos uerò iam protraximus eam contingen-
tem maiorẽ: ergo ipſa eſt contingens utroſq; ſimul. Et protraham ſimi
liter ex puncto h lineam, contingentem duos circulos ſimiliter in par-
te z, quæ ſit linea h z k. Eſt ergo, quòd ex circulo a maiore uerſa facie
reſpicit circulum b minorem, portio d g k: & eſt minor medietate cir-
culi: quoniam angulus h a d eſt minor recto [per 32 p 1] quoniam ipſe
eſt in trian gulo uno, & eſt triangulum d a h cum angulo a d h recto.
Ergo eſt portio d g minor quarta circuli [per 33 p 6] & ſimiliter por-
tio g k, æqualis e [quòd autem g k ſit æqualis d g, patet, ducta ſemidia-
metro a k. Quia enim rectæ d h, k h tangentes æquantur per conſecta-
rium 36 p 3 & ſemidiametri a d, a k per 15 d 1, eſtq́; communis a h: ęqua-
bitur angulus h a d angulo h a k per 8 p 1: quare per 26 p 3 peripheria d
g æquabitur peripheriæ g k. ] Ergo portio d g k eſt minor medietate
circuli. Et quoniam linea b c eſt æquidiſtans lineæ a d [è concluſo] eſt angulus c b h æqualis an-
gulo d a h [per 29 p 1] ergo erit portio c l ſimilis portioni d g, & tota portio c l z ſimilis portioni d g
k [per 33 p 6. ] Ergo unaquęq; earũ eſt minor medietate circuli: remanet ergo portio c e z maior me
dietate circuli: & illud eſt, quod ex circulo minore uerſa facie reſpicit circulum maiorem. Ergo duę
portiones c e z, & d g k ſunt ex duobus circulis, qui uerſa facie ſe reſpiciũt. Et ſignifico quidem per
hoc, quòd aliquid portionis unius nõ cooperitur ex circulo altero: & portio c e z eſt maior medie-
tate circuli, & portio d g k minor. Etillud eſt, quod uoluimus declarare.
contingẽtem circulũ a g d [per 17 p 3] quæ ſit h c d. Dico ergo, quòd ipſa contingit etiã circulũ b e z:
quod patet: quia cõtinuabo a cum d per lineam a d: ergo eſt perpendi-
250[Figure 250]d a k g e c b z h cularis ſuper lineam h d [per 18 p 3] & protraham à puncto b perpen-
dicularem ſuper lineam h c d [per 11 p 1] quæ ſit b c. Et quoniam duæ
lineæ b c, a d ſunt perpendiculares ſuper lineam h d [è fabricatione &
concluſo] ſunt æ quidiſtantes [per 28 p 1. ] Et quia linea b c eſt æqui-
diſtans ipſi a d, quæ eſt baſis trianguli: erit ergo proportio a d ad b c,
ſicut ꝓportio a h ad h b [per 4 p 6: quia triangula a h d, b h c ſunt æqui-
angula per 29. 32 p 1] & iam poſuimus proportionem a h ad h b, ſicut
proportionem medietatis diametri circuli a g d, ad medietatẽ diame-
tri b e z: ergo linea b c eſt medietas diametri circuli b e z: ergo punctũ
c eſt ſuper circumferẽtiam circuli b e z [per 17 d 1] & duos angulos ad
d & c poſuimus rectos: ergo linea h c d contingit minorem circulum
[per conſectarium 16 p 3] nos uerò iam protraximus eam contingen-
tem maiorẽ: ergo ipſa eſt contingens utroſq; ſimul. Et protraham ſimi
liter ex puncto h lineam, contingentem duos circulos ſimiliter in par-
te z, quæ ſit linea h z k. Eſt ergo, quòd ex circulo a maiore uerſa facie
reſpicit circulum b minorem, portio d g k: & eſt minor medietate cir-
culi: quoniam angulus h a d eſt minor recto [per 32 p 1] quoniam ipſe
eſt in trian gulo uno, & eſt triangulum d a h cum angulo a d h recto.
Ergo eſt portio d g minor quarta circuli [per 33 p 6] & ſimiliter por-
tio g k, æqualis e [quòd autem g k ſit æqualis d g, patet, ducta ſemidia-
metro a k. Quia enim rectæ d h, k h tangentes æquantur per conſecta-
rium 36 p 3 & ſemidiametri a d, a k per 15 d 1, eſtq́; communis a h: ęqua-
bitur angulus h a d angulo h a k per 8 p 1: quare per 26 p 3 peripheria d
g æquabitur peripheriæ g k. ] Ergo portio d g k eſt minor medietate
circuli. Et quoniam linea b c eſt æquidiſtans lineæ a d [è concluſo] eſt angulus c b h æqualis an-
gulo d a h [per 29 p 1] ergo erit portio c l ſimilis portioni d g, & tota portio c l z ſimilis portioni d g
k [per 33 p 6. ] Ergo unaquęq; earũ eſt minor medietate circuli: remanet ergo portio c e z maior me
dietate circuli: & illud eſt, quod ex circulo minore uerſa facie reſpicit circulum maiorem. Ergo duę
portiones c e z, & d g k ſunt ex duobus circulis, qui uerſa facie ſe reſpiciũt. Et ſignifico quidem per
hoc, quòd aliquid portionis unius nõ cooperitur ex circulo altero: & portio c e z eſt maior medie-
tate circuli, & portio d g k minor. Etillud eſt, quod uoluimus declarare.
251[Figure 251]e d a n b g m q t k z h l
4. Si peripheri{as} duorum circulorum æqualium duæ rectæ lιneæ tangant: punct a ſemiperi-
pheriarum cõuexis partib{us} ſe reſpicientium ſingula ſingulis appa-
rent, reliquarum uerò ſemiperipheriarum conuexis partib{us} ſenon reſpicientium latent.
pheriarum cõuexis partib{us} ſe reſpicientium ſingula ſingulis appa-
rent, reliquarum uerò ſemiperipheriarum conuexis partib{us} ſenon reſpicientium latent.
ET dico, quòd quando ſunt duo circuli æquales, & protrahuntur
duæ lineæ, quarum unaquæq; contingit duos circulos ſimul, ſe-
cundum formam, quam præmiſimus: tunc in unaquaq; duarum
portionum, quarum una uerſa facie reſpicit alteram, non eſt locus, qui
abſcõdat aliquid ex circulo uno circulo alteri: & quòd in reliquis dua-
bus portionibus duorum circulorum, quę non facie ad faciem ſe reſpi-
ciunt, non eſt locus, qui appareat circulo alteri. Cuius exemplum eſt,
quòd ſint duo circuli a b g d e, & z h t k l: & protrahantur duę lineæ b h,
& d k contingentes duos circulos ſimul: ergo duæ portiones b g d, &
h t k ſunt, quæ ſe facie ad faciem reſpiciunt: earum portiones b e d, & h
l k ſunt, quæ ſe non facie ad faciem reſpiciunt. Dico ergo, quòd non eſt
in portione b g d punctum, quod aliquid ex circulo z h abſcondat cir-
culo a b: & quòd non eſt in portione b e d punctum, quod appareat pe-
nitus circulo z h: & quòd tota ipſa portio eſt abſcondita circulo z h: &
quòd neq; eſt in portione h l k punctũ, quod appareat circulo a b. Cu-
ius demonſtratio eſt: quòd ego continuabo a cum z, per lineam a g z,
& ſignabo ſuper arcum b g d punctum, qualiter uelim, quod ſit punctũ
m. Si ergo fuerit punctum m à puncto g ad partem b: tunc protraham
ex puncto m lineã æquidiſtantem lineæ b h [per 31 p 1] & ſi fuerit pun-
ctum m à puncto g ad partem d: tunc protraham ex puncto m lineam
æquidiſtãtem lineæ d k: ſit ergo m t. Dico igitur quòd linea m t tota eſt
extra circulũ b m g d e, de qua nõ cadit aliquid in eo. Cuius demõſtratio eſt: quòd ego cõtinuabo a
cũ b, & protrahã lineã m t ſecundũ rectitudinẽ, donec cõcurrat cũ linea b a ſuper punctũ n [cõcur-
ret aũt per lẽma Procli ad 29 p1: ꝗa m t parallela ducta eſt ipſi b h, quę cõcurrit cũ a b in b] ergo duo
rũ angulorũ ad n unuſquiſq; eſt rectus [ꝗa enim angulus n b h rectus eſt ք 18 p 3, & ipſi b h parallela
ducta eſt t m n: ęquabitur per 29 p 1 angulus t n b angulo n b h, ideoq́; rectus, & per 13 p 1 an t rectus]
duæ lineæ, quarum unaquæq; contingit duos circulos ſimul, ſe-
cundum formam, quam præmiſimus: tunc in unaquaq; duarum
portionum, quarum una uerſa facie reſpicit alteram, non eſt locus, qui
abſcõdat aliquid ex circulo uno circulo alteri: & quòd in reliquis dua-
bus portionibus duorum circulorum, quę non facie ad faciem ſe reſpi-
ciunt, non eſt locus, qui appareat circulo alteri. Cuius exemplum eſt,
quòd ſint duo circuli a b g d e, & z h t k l: & protrahantur duę lineæ b h,
& d k contingentes duos circulos ſimul: ergo duæ portiones b g d, &
h t k ſunt, quæ ſe facie ad faciem reſpiciunt: earum portiones b e d, & h
l k ſunt, quæ ſe non facie ad faciem reſpiciunt. Dico ergo, quòd non eſt
in portione b g d punctum, quod aliquid ex circulo z h abſcondat cir-
culo a b: & quòd non eſt in portione b e d punctum, quod appareat pe-
nitus circulo z h: & quòd tota ipſa portio eſt abſcondita circulo z h: &
quòd neq; eſt in portione h l k punctũ, quod appareat circulo a b. Cu-
ius demonſtratio eſt: quòd ego continuabo a cum z, per lineam a g z,
& ſignabo ſuper arcum b g d punctum, qualiter uelim, quod ſit punctũ
m. Si ergo fuerit punctum m à puncto g ad partem b: tunc protraham
ex puncto m lineã æquidiſtantem lineæ b h [per 31 p 1] & ſi fuerit pun-
ctum m à puncto g ad partem d: tunc protraham ex puncto m lineam
æquidiſtãtem lineæ d k: ſit ergo m t. Dico igitur quòd linea m t tota eſt
extra circulũ b m g d e, de qua nõ cadit aliquid in eo. Cuius demõſtratio eſt: quòd ego cõtinuabo a
cũ b, & protrahã lineã m t ſecundũ rectitudinẽ, donec cõcurrat cũ linea b a ſuper punctũ n [cõcur-
ret aũt per lẽma Procli ad 29 p1: ꝗa m t parallela ducta eſt ipſi b h, quę cõcurrit cũ a b in b] ergo duo
rũ angulorũ ad n unuſquiſq; eſt rectus [ꝗa enim angulus n b h rectus eſt ք 18 p 3, & ipſi b h parallela
ducta eſt t m n: ęquabitur per 29 p 1 angulus t n b angulo n b h, ideoq́; rectus, & per 13 p 1 an t rectus]