3075
THEOREMATA
1. Omnes lineæ æquidiſt antes in eadem ſuperficie plana neceſſariò conſiſtunt.
E' 35 definit. 1 element.
E' 35 definit. 1 element.
Sint duæ lineæ æquidiſtantes, quæ a b & c d utcunque diſpoſitæ:
257[Figure 257]a c b d dico quòd ipſæ ſunt in eadem ſuperficie plana: copulentur enim per
lineam b d. Quoniam ergo lineæ a b & b d angulariter coniungun-
tur: palàm quoniam ipſæ ſunt in eadem ſuperficie per 2 p 11. Simi-
liter, quia lineę e d & b d angulariter coniunguntur, eruntipſæ in ea-
dem ſuperficie: Sed linea b d eſt in una tantum ſuperficie plana, quo-
niam ipſius partem eſſe in ſublimi, partem in plano, eſt impoſsibile ք
1 p 11. Palàm ergo, quoniam lineę a b & c d neceſſariò conſiſtunt in ea-
dem plana ſuperficie contenta inter eas & inter lineas, extremitates
illarum linearum copulantes: quod eſt propoſitum.
257[Figure 257]a c b d dico quòd ipſæ ſunt in eadem ſuperficie plana: copulentur enim per
lineam b d. Quoniam ergo lineæ a b & b d angulariter coniungun-
tur: palàm quoniam ipſæ ſunt in eadem ſuperficie per 2 p 11. Simi-
liter, quia lineę e d & b d angulariter coniunguntur, eruntipſæ in ea-
dem ſuperficie: Sed linea b d eſt in una tantum ſuperficie plana, quo-
niam ipſius partem eſſe in ſublimi, partem in plano, eſt impoſsibile ք
1 p 11. Palàm ergo, quoniam lineę a b & c d neceſſariò conſiſtunt in ea-
dem plana ſuperficie contenta inter eas & inter lineas, extremitates
illarum linearum copulantes: quod eſt propoſitum.
2. Lineam à puncto unius linearum æquidiſtantium in eadem
ſuperficie protr actam, cum alter a indefinitæ quantitatis concurre
re eſt neceſſe. Lemma Procli ad 29 p relement.
ſuperficie protr actam, cum alter a indefinitæ quantitatis concurre
re eſt neceſſe. Lemma Procli ad 29 p relement.
Sint duæ lineæ æquidiſtantes, quæ a b & c d:
quarum unam, ſcilicet a b, ſecet linea b e in puncte
b. Dico, quòd linea b e ſecabit etiam lineam c d. Quia enim linea c d
258[Figure 258]c a b d e indefinitæ quantitatis eſſe ſupponitur, protrahatur uerſus ipſam li-
nea b e: quę ſi concurrit cum c d, habetur propoſitum. Sinon concur-
rat: palàm per definitionem æquidiſtantium linearum, quoniam linea
b e eſt æquidiſtans lineæ c d: & quia lineæ a b & b e ambę ſunt æquidi-
ſtãtes lineę c d: erit per 30 p 1 linea e b ęquidiſtans lineę a b: ſed palã ex
hypotheſi, quoniam concurrunt, ut in puncto b: non ergo ęquidiſtat li
nea b e lineę c d: ergo neceſſariò cõcurrit linea b e cum linea c d: quod
eſt propoſitum.
b. Dico, quòd linea b e ſecabit etiam lineam c d. Quia enim linea c d
258[Figure 258]c a b d e indefinitæ quantitatis eſſe ſupponitur, protrahatur uerſus ipſam li-
nea b e: quę ſi concurrit cum c d, habetur propoſitum. Sinon concur-
rat: palàm per definitionem æquidiſtantium linearum, quoniam linea
b e eſt æquidiſtans lineæ c d: & quia lineæ a b & b e ambę ſunt æquidi-
ſtãtes lineę c d: erit per 30 p 1 linea e b ęquidiſtans lineę a b: ſed palã ex
hypotheſi, quoniam concurrunt, ut in puncto b: non ergo ęquidiſtat li
nea b e lineę c d: ergo neceſſariò cõcurrit linea b e cum linea c d: quod
eſt propoſitum.
3. Datis tribus lineis, cuilibet tertiæ ſecundum proportionẽ alia-
rum duarum proportionalem inuenire. E' 12 p 6 element.
rum duarum proportionalem inuenire. E' 12 p 6 element.
Sint datæ tres lineæ, quę ſint a b, c d, e f, quarum uni ut a b, ſecun-
dum proportionem aliarum duarum, quę ſunt c d & e f, quarta propor
tionalis debeat inueniri. Duæ itaque lineæ æquales duabus lineis,
quæ ſunt c d & e f, ab una linea continua abſcin dantur, quę ſit a e f per
3 p 1, & illi lineę a e fangulariter tertia data ſcilicet a b coniungatur in puncto a: & à puncto commu
ni diſtinguẽte duas lineas reſectas, (quod ſit punctum e) ducatur li-
259[Figure 259]a b c d e f nea e b a d extremitatem tertię datarum, quę eſt a b: & à puncto f du-
catur linea ęquidiſtans lineę e b per 31 p 1, quę ſit f g. Deinde protraha
tur linea a b in cõtinuum & directum, quouſque ſecet lineã f g: ſeca-
260[Figure 260]a e b f g bit aũt per pręmiſſam: ſit itaq; punctus cõcurſus g. Dico, quod per 2
p 6 eadem eſt proportio lineę a b ad lineam b g, quę eſt lineę a e datę
ad lineam e f datam. Similiter quoq; de qualibet aliarum reſpectu re
liquarum duarum demonſtrari poteſt: patet ergo propoſitum.
dum proportionem aliarum duarum, quę ſunt c d & e f, quarta propor
tionalis debeat inueniri. Duæ itaque lineæ æquales duabus lineis,
quæ ſunt c d & e f, ab una linea continua abſcin dantur, quę ſit a e f per
3 p 1, & illi lineę a e fangulariter tertia data ſcilicet a b coniungatur in puncto a: & à puncto commu
ni diſtinguẽte duas lineas reſectas, (quod ſit punctum e) ducatur li-
259[Figure 259]a b c d e f nea e b a d extremitatem tertię datarum, quę eſt a b: & à puncto f du-
catur linea ęquidiſtans lineę e b per 31 p 1, quę ſit f g. Deinde protraha
tur linea a b in cõtinuum & directum, quouſque ſecet lineã f g: ſeca-
260[Figure 260]a e b f g bit aũt per pręmiſſam: ſit itaq; punctus cõcurſus g. Dico, quod per 2
p 6 eadem eſt proportio lineę a b ad lineam b g, quę eſt lineę a e datę
ad lineam e f datam. Similiter quoq; de qualibet aliarum reſpectu re
liquarum duarum demonſtrari poteſt: patet ergo propoſitum.
261[Figure 261]a b c d g c d g f
4. Cum duabus lineis inæqualibus notæ proportionis, æqualiũ
linearum facta fuerit ad
ditio: maioris adminorẽ minuitur proportio. Ex 8 p 5 element.
linearum facta fuerit ad
ditio: maioris adminorẽ minuitur proportio. Ex 8 p 5 element.
Sint duæ lineæ a b & c d
inæquales, notæ propor-
tionis: ſitq́ue linea a b ma-
ior quàm linea c d: adda-
tur quoq; linea b e ipſi a b,
& linea d f ipſi c d: ſintq́; lineę b e & d f ęquales. Dico, quòd minor eſt proportio lineę a e ad lineam
c f, quàm lineę a b ad lineam c d. Quoniam enim datę ſunt tres lineę, quę ſunt a b & c d & b e: inue-
niatur per pręcedẽtem linea proportionalis lineę b e, ſecundum proportionem linearum a b & c d,
quę ſit d g. Quia ergo linea a b eſt maior quàm linea c d, patet, quia linea b e eſt maior quã linea d g:
ergo & linea d f eſt maior quã linea d g. Abſcindatur ergo per 3 p 1 è linea d f ęqualis ipſi d g. Quia er-
go eſt proportio lineę a b ad lineam c d, ſicut lineę b e ad lineam d g: erit per 15 p 5 proportio totius
lineę a e ad totalem lineã c g, ſicut lineę a b ad lineam c d: ſed per 8 p 5 minor eſt proportio lineæ a e
inæquales, notæ propor-
tionis: ſitq́ue linea a b ma-
ior quàm linea c d: adda-
tur quoq; linea b e ipſi a b,
& linea d f ipſi c d: ſintq́; lineę b e & d f ęquales. Dico, quòd minor eſt proportio lineę a e ad lineam
c f, quàm lineę a b ad lineam c d. Quoniam enim datę ſunt tres lineę, quę ſunt a b & c d & b e: inue-
niatur per pręcedẽtem linea proportionalis lineę b e, ſecundum proportionem linearum a b & c d,
quę ſit d g. Quia ergo linea a b eſt maior quàm linea c d, patet, quia linea b e eſt maior quã linea d g:
ergo & linea d f eſt maior quã linea d g. Abſcindatur ergo per 3 p 1 è linea d f ęqualis ipſi d g. Quia er-
go eſt proportio lineę a b ad lineam c d, ſicut lineę b e ad lineam d g: erit per 15 p 5 proportio totius
lineę a e ad totalem lineã c g, ſicut lineę a b ad lineam c d: ſed per 8 p 5 minor eſt proportio lineæ a e