311273DE MATHÉMATIQUE. Liv. VIII.
pour trouver tous les quarrés des élémens du quart de cercle
A C, il faut multiplier le quarré du plus grand élément par
les deux tiers de la ligne A B, & l’on peut tirer de ce raiſon-
nement le principe général ſuivant, qui eſt que, dans une ſuite
qui ſeroit compoſee des élémens infinis du quart de cercle, la ſomme
de tous les élémens ſeroit égale au produit du quarré du plus grand
élément, c’eſt-à-dire du rayon par les deux tiers du même rayon.
A C, il faut multiplier le quarré du plus grand élément par
les deux tiers de la ligne A B, & l’on peut tirer de ce raiſon-
nement le principe général ſuivant, qui eſt que, dans une ſuite
qui ſeroit compoſee des élémens infinis du quart de cercle, la ſomme
de tous les élémens ſeroit égale au produit du quarré du plus grand
élément, c’eſt-à-dire du rayon par les deux tiers du même rayon.
570.
Les ſolidités des ſpheres ſont dans la même raiſon que les
11Figure 143. cubes de leurs diametres.
11Figure 143. cubes de leurs diametres.
Si l’on nomme le diametre A B, a, ſa circonférence, b,
le diametre C D, c, & ſa circonférence, d, la ſuperficie du
grand cercle de la premiere ſphere ſera {ab/4}, puiſqu’il faut mul-
tiplier la demi-circonférence par le rayon pour avoir la ſur-
face d’un cercle; de même la ſuperficie du grand cercle de la
ſeconde ſphere ſera {cd/4} multipliant enſuite l’un & l’autre, cha-
cun par les deux tiers de ſon diametre, l’on aura {2a2b/12} ou {a2b/6}
pour la ſolidité de la premiere ſphere (art. 568), & par la
même raiſon {cd/6} pour la ſolidité de la ſeconde ſphere: il faut
donc démontrer que {aab/6}: {ccd/6}: : a3: c3.
le diametre C D, c, & ſa circonférence, d, la ſuperficie du
grand cercle de la premiere ſphere ſera {ab/4}, puiſqu’il faut mul-
tiplier la demi-circonférence par le rayon pour avoir la ſur-
face d’un cercle; de même la ſuperficie du grand cercle de la
ſeconde ſphere ſera {cd/4} multipliant enſuite l’un & l’autre, cha-
cun par les deux tiers de ſon diametre, l’on aura {2a2b/12} ou {a2b/6}
pour la ſolidité de la premiere ſphere (art. 568), & par la
même raiſon {cd/6} pour la ſolidité de la ſeconde ſphere: il faut
donc démontrer que {aab/6}: {ccd/6}: : a3: c3.
Demonstration.
Pour prouver que {aab/6}:
{ccd/6}:
: a3:
c3, nous ferons voir que
dans ces quatre termes le produit des extrêmes eſt égal à celui
des moyens, c’eſt-à-dire que {aabc3/6} = {a3dcc/6}. Pour cela, con-
ſidérez que les diametres des cercles étant en même raiſon
que leurs circonférences (art. 481), on aura a: b: : c: d, d’où
l’on tire a d = b c, & que ſi l’on met a d à la place de b c dans
le premier membre de l’équation précédente, elle deviendra, en
multipliant chaque membre par 6, aaadcc = aaadcc. C. Q. F. D.
dans ces quatre termes le produit des extrêmes eſt égal à celui
des moyens, c’eſt-à-dire que {aabc3/6} = {a3dcc/6}. Pour cela, con-
ſidérez que les diametres des cercles étant en même raiſon
que leurs circonférences (art. 481), on aura a: b: : c: d, d’où
l’on tire a d = b c, & que ſi l’on met a d à la place de b c dans
le premier membre de l’équation précédente, elle deviendra, en
multipliant chaque membre par 6, aaadcc = aaadcc. C. Q. F. D.