312300
vero latera AB, AC, ſunt inæqualia, ſit AC, maius, ex quo abſcindatur re-
cta CE, minori lateri AB, æqualis, & ex A, E, ad tertium latus BC, perpen
161[Figure 161]
diculares demittantur AD, EF, quarum vtraq;
cadet intra triangulum, quando angulus B, ma-
iori lateri AC, oppoſitus acutus eſt. Erit enim
& tunc angulus quoq; C, acutus, cum minor
ſit, quam B. Quare perpendicularis AD, intra
1118. primi.
Schol. 13.
ſecundi.
Schol. 12.
ſecundi. triangulum cadet, ac proinde & perpendi@ula-
ris EF. Quando vero angulus B, obtuſus eſt,
cadet quidem AD, ſemper extra triangulum,
at EF, cadere poteſt vel extra etiam, vel in pun
ctum B, vel intra triangulum. Quomodocunq;
autem cadant dictæ perpendiculares, ſemper ea-
2218. primi.
Coroll. 4.
ſexti. dem erit demonſtratio. Nam cum AD, EF, ſint
parallelæ, erunt triangula CEF, CAD, ſimi-
lia. Quamobrem erit, vt CE, ad EF, ita CA, ad AD. Cum ergo ex ijs, quæ
334. ſexti. in definitionibus ſinuum tradidimus, poſito ſinu toto CE, recta EF, ſit ſinus
anguli C; poſito item ſinu toto AB, recta AD, ſit ſinus anguli ABD; ſintq;
ſinus toti CE, AB, reſpectu quorum illi ſunt ſinus, æquales; liquet eſſe, vt
CE, hoc eſt, latus AB, ad EF, ſinum anguli C, ita latus CA, ad AD, ſinum
anguli ABD: Et permutando, vt latus AB, ad latus AC, ita EF, ſinum
anguli C, ad AD, ſinum anguli ABD, hoc eſt, in poſteriori triangulo, ad
ſinum anguli ABC, cum duo anguli ad B, æquales ſint duobus rectis, & pro-
inde eundem ſinum habeant, vt in definitionibus ſinuum docuimus. Ex quo
conſtat, ita eſſe minus latus AB, ad maius AC, vt eſt EF, ſinus anguli C, mi-
nori lateri oppoſiti ad AD, ſinum anguli ABC, maiori lateri oppoſiti: Et
conuertendo, ita eſſe maius latus AC, ad minus AB, vt eſt AD, ſinus angu-
li ABC, maiori lateri oppoſiti ad EF, ſinum anguli C, minori lateri oppo-
ſiti. Non aliter oſtendemus eſſe, vt latus AB, ad latus BC, ita ſinum anguli
C, ad ſinum anguli A: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita ſinum anguli A, ad
ſinum anguli C. & c. dummodo ex puncto, vbi conueniunt latera aſſumpta
inæqualia, (ſi forte æqualia non ſunt) ducas ad latus oppoſitum lineam per-
pendicularem, & minori lateri ex maiore rectam æqualem abſcindas, initio
facto ab altero puncto extremo maioris lateris, vbi cum tertio latere coniun-
gitur, vt à nobis factum eſt, & c.
cta CE, minori lateri AB, æqualis, & ex A, E, ad tertium latus BC, perpen
cadet intra triangulum, quando angulus B, ma-
iori lateri AC, oppoſitus acutus eſt. Erit enim
& tunc angulus quoq; C, acutus, cum minor
ſit, quam B. Quare perpendicularis AD, intra
1118. primi.
Schol. 13.
ſecundi.
Schol. 12.
ſecundi. triangulum cadet, ac proinde & perpendi@ula-
ris EF. Quando vero angulus B, obtuſus eſt,
cadet quidem AD, ſemper extra triangulum,
at EF, cadere poteſt vel extra etiam, vel in pun
ctum B, vel intra triangulum. Quomodocunq;
autem cadant dictæ perpendiculares, ſemper ea-
2218. primi.
Coroll. 4.
ſexti. dem erit demonſtratio. Nam cum AD, EF, ſint
parallelæ, erunt triangula CEF, CAD, ſimi-
lia. Quamobrem erit, vt CE, ad EF, ita CA, ad AD. Cum ergo ex ijs, quæ
334. ſexti. in definitionibus ſinuum tradidimus, poſito ſinu toto CE, recta EF, ſit ſinus
anguli C; poſito item ſinu toto AB, recta AD, ſit ſinus anguli ABD; ſintq;
ſinus toti CE, AB, reſpectu quorum illi ſunt ſinus, æquales; liquet eſſe, vt
CE, hoc eſt, latus AB, ad EF, ſinum anguli C, ita latus CA, ad AD, ſinum
anguli ABD: Et permutando, vt latus AB, ad latus AC, ita EF, ſinum
anguli C, ad AD, ſinum anguli ABD, hoc eſt, in poſteriori triangulo, ad
ſinum anguli ABC, cum duo anguli ad B, æquales ſint duobus rectis, & pro-
inde eundem ſinum habeant, vt in definitionibus ſinuum docuimus. Ex quo
conſtat, ita eſſe minus latus AB, ad maius AC, vt eſt EF, ſinus anguli C, mi-
nori lateri oppoſiti ad AD, ſinum anguli ABC, maiori lateri oppoſiti: Et
conuertendo, ita eſſe maius latus AC, ad minus AB, vt eſt AD, ſinus angu-
li ABC, maiori lateri oppoſiti ad EF, ſinum anguli C, minori lateri oppo-
ſiti. Non aliter oſtendemus eſſe, vt latus AB, ad latus BC, ita ſinum anguli
C, ad ſinum anguli A: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita ſinum anguli A, ad
ſinum anguli C. & c. dummodo ex puncto, vbi conueniunt latera aſſumpta
inæqualia, (ſi forte æqualia non ſunt) ducas ad latus oppoſitum lineam per-
pendicularem, & minori lateri ex maiore rectam æqualem abſcindas, initio
facto ab altero puncto extremo maioris lateris, vbi cum tertio latere coniun-
gitur, vt à nobis factum eſt, & c.
ALITER.
Sit rurſus triangulum non
rectangulum ABC: de rectangulo enim in
principio huius demonſtrationis iam eſt de-
monſtratum. Dico eſſe, vt latus AB, ad latus
AC, ita ſinum anguli C, ad ſinum anguli B:
Vel vt latus AC, ad latus AB, ita ſinum an-
guli B, ad ſinum anguli C, & c. Ducta enim ex
A, vbi duo late-
44
latus AB. # ſin. ang. C.
latus AD. # ſin. ang. D.
latus AC. # ſin. ang. B.
ra aſſumpta co-
eunt, ad tertiũ
latus BC, per-
pẽdiculari AD,
quæ vel i@tra triangulum cadet, vel extra, prout anguli B, & C, acuti
rectangulum ABC: de rectangulo enim in
principio huius demonſtrationis iam eſt de-
monſtratum. Dico eſſe, vt latus AB, ad latus
AC, ita ſinum anguli C, ad ſinum anguli B:
Vel vt latus AC, ad latus AB, ita ſinum an-
guli B, ad ſinum anguli C, & c. Ducta enim ex
A, vbi duo late-
44
latus AB. # ſin. ang. C.
latus AD. # ſin. ang. D.
latus AC. # ſin. ang. B.
ra aſſumpta co-
eunt, ad tertiũ
latus BC, per-
pẽdiculari AD,
quæ vel i@tra triangulum cadet, vel extra, prout anguli B, & C, acuti