Demonstration.
Si l’on imagine la demi-ſphere, comme étant compoſée
d’une infinité de petits cônes, qui ont leurs baſes égales, ré-
pandues ſur la ſurface de la ſphere, & dont tous les fommets
venant aboutir au centre F, ont pour hauteur commune le
rayon, on pourra dire que tous ces petits cônes ſont égaux,
pris enſemble, à un ſeul qui auroit pour baſe la ſurface de la
ſphere, & pour hauteur le rayon. Or comme la valeur de
ce cône, égal à la demi-ſphere, eſt {aab/3}, & que celle du cône
G H I eſt {aab/6}, ces deux cônes ayant la même hauteur, il s’en-
ſuit qu’ils ſeront dans la raiſon des baſes, c’eſt-à-dire comme
le cercle G I eſt à la ſurface de la ſphere, que l’on trouvera,
en diſant: Comme {aab/6}, valeur du cône G H I, eſt à {aab/3}, valeur
du cône égal à la ſphere, ainſi {ab/2}, baſe du cône G H I, eſt à
la baſe du ſecond cône, ou autrement à la ſurface de la demi-
ſphere, que l’on trouvera {6a3b2/6a2b} = a b, qui eſt un rectangle égal
à la ſurface du cylindre, puiſqu’il eſt compris ſous la hauteur a
& la circonférence b. C. Q. F. D.
d’une infinité de petits cônes, qui ont leurs baſes égales, ré-
pandues ſur la ſurface de la ſphere, & dont tous les fommets
venant aboutir au centre F, ont pour hauteur commune le
rayon, on pourra dire que tous ces petits cônes ſont égaux,
pris enſemble, à un ſeul qui auroit pour baſe la ſurface de la
ſphere, & pour hauteur le rayon. Or comme la valeur de
ce cône, égal à la demi-ſphere, eſt {aab/3}, & que celle du cône
G H I eſt {aab/6}, ces deux cônes ayant la même hauteur, il s’en-
ſuit qu’ils ſeront dans la raiſon des baſes, c’eſt-à-dire comme
le cercle G I eſt à la ſurface de la ſphere, que l’on trouvera,
en diſant: Comme {aab/6}, valeur du cône G H I, eſt à {aab/3}, valeur
du cône égal à la ſphere, ainſi {ab/2}, baſe du cône G H I, eſt à
la baſe du ſecond cône, ou autrement à la ſurface de la demi-
ſphere, que l’on trouvera {6a3b2/6a2b} = a b, qui eſt un rectangle égal
à la ſurface du cylindre, puiſqu’il eſt compris ſous la hauteur a
& la circonférence b. C. Q. F. D.
Autre demonstration.
Conſidérez que ſi du cylindre A C l’on retranche le cône
B F C, qui en eſt le tiers, le ſolide A B F C D qui reſtera, que
11Figure 140. nous nommerons entonnoir, en ſera les deux tiers; & comme
la demi-ſphere inſcrite eſt auſſi les deux tiers du cylindre, elle
ſera par conſéquent égale à l’entonnoir. Mais ſi l’on imagine
l’entonnoir compoſé d’une infinité de petites pyramides, dont
toutes les baſes ſont à la ſurface du cylindre, & dont la hau-
teur commune eſt le rayon F D, il s’enſuit que toutes les pyra-
mides de la demi-ſphere étant égales à toutes celles de l’en-
tonnoir, toutes les baſes des unes, priſes enſemble, ſeront
égales à toutes les baſes des autres, auſſi priſes enſemble, puiſ-
que ces pyramides ont la même hauteur; mais toutes les baſes
des unes valent la ſurface de la ſphere, & toutes les baſes
B F C, qui en eſt le tiers, le ſolide A B F C D qui reſtera, que
11Figure 140. nous nommerons entonnoir, en ſera les deux tiers; & comme
la demi-ſphere inſcrite eſt auſſi les deux tiers du cylindre, elle
ſera par conſéquent égale à l’entonnoir. Mais ſi l’on imagine
l’entonnoir compoſé d’une infinité de petites pyramides, dont
toutes les baſes ſont à la ſurface du cylindre, & dont la hau-
teur commune eſt le rayon F D, il s’enſuit que toutes les pyra-
mides de la demi-ſphere étant égales à toutes celles de l’en-
tonnoir, toutes les baſes des unes, priſes enſemble, ſeront
égales à toutes les baſes des autres, auſſi priſes enſemble, puiſ-
que ces pyramides ont la même hauteur; mais toutes les baſes
des unes valent la ſurface de la ſphere, & toutes les baſes