Demonstration.
Conſidérez que dans la progreſſion {.
./.
.} a.
b.
c.
d, les trois pre-
miers termes donnent a c = b b, puiſque l’on a a : b : : b : c, &
que l’on aura auſſi a d = b c, puiſque a : b : : c : d. Ainſi pour
prouver que a : b : : a : d, il ſuffit de faire voir que le produit
des extrêmes & celui des moyens donnent a d = ab. Pour
cela, il n’y a qu’à mettre a c à la place de b b dans le ſecond
membre de l’équation, & b c à la place de a d dans le premier,
& l’on aura a a b c = a a b c. C. Q. F. D.
miers termes donnent a c = b b, puiſque l’on a a : b : : b : c, &
que l’on aura auſſi a d = b c, puiſque a : b : : c : d. Ainſi pour
prouver que a : b : : a : d, il ſuffit de faire voir que le produit
des extrêmes & celui des moyens donnent a d = ab. Pour
cela, il n’y a qu’à mettre a c à la place de b b dans le ſecond
membre de l’équation, & b c à la place de a d dans le premier,
& l’on aura a a b c = a a b c. C. Q. F. D.
PROPOSITION XV.
Probleme.
Pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux
lignes données A B & C D, il faut faire un rectangle
ſous les deux lignes, tel que E F ſoit égale à C D, & E G
égal à A B; enſuite prolonger indéfiniment les côtés E F,
E G, & du centre I du rectangle, décrire un cercle de ma-
niere que la circonférence venant couper les lignes prolongées
G K & F L, on puiſſe mener du point K au point L une ligne
K L, qui ne faſſe que toucher l’angle H, & l’on aura les lignes
G K & F L, qui ſeront moyennes proportionnelles entre G E
& E F, c’eſt-à-dire entre les données A B & C D.
lignes données A B & C D, il faut faire un rectangle
ſous les deux lignes, tel que E F ſoit égale à C D, & E G
égal à A B; enſuite prolonger indéfiniment les côtés E F,
E G, & du centre I du rectangle, décrire un cercle de ma-
niere que la circonférence venant couper les lignes prolongées
G K & F L, on puiſſe mener du point K au point L une ligne
K L, qui ne faſſe que toucher l’angle H, & l’on aura les lignes
G K & F L, qui ſeront moyennes proportionnelles entre G E
& E F, c’eſt-à-dire entre les données A B & C D.
Demonstration.
Conſidérez que ſi l’on abaiſſe les perpendiculaires I M &
I N, la corde O L ſera diviſée en deux également au point M
(art. 423) auſſi-bien que la ligne E F, & que par conſéquent
O E eſt égale à F L, & que K P étant diviſée en deux égale-
ment au point N, auſſi-bien que G E, G K ſera égale à E P.
Cela poſé, comme les triangles O E P, H F L, K G H ſont
ſemblables, on aura H F : F L : : E O : E P; mais puiſque O E
eſt égal à F L, on aura H F : F L : : F L : E P; & comme les
deux triangles ſemblables E O P, G K H donnent
I N, la corde O L ſera diviſée en deux également au point M
(art. 423) auſſi-bien que la ligne E F, & que par conſéquent
O E eſt égale à F L, & que K P étant diviſée en deux égale-
ment au point N, auſſi-bien que G E, G K ſera égale à E P.
Cela poſé, comme les triangles O E P, H F L, K G H ſont
ſemblables, on aura H F : F L : : E O : E P; mais puiſque O E
eſt égal à F L, on aura H F : F L : : F L : E P; & comme les
deux triangles ſemblables E O P, G K H donnent